Staatsexamenskurs Algebra

1. Überblick

Im ersten Kapitel der Gruppentheorie lernen wir zunächst den Begriff einer Gruppe kennen, sowie die Bezeichnungen abelsche Gruppe und endliche Grupppe.

Die im Staatsexamen geprüften Gruppen sind im wesentlichen endliche Gruppen, unendliche Gruppen bilden eher eine Randerscheinung.

Naheliegend ist dann der Begriff des Zentrums einer Gruppe, die Menge aller Gruppenelemente, die mit allen Gruppenelementen vertauschbar ist. Das Zentrum gibt einen Maßstab, wie "abelsch" eine Gruppe ist.

Erste Beispiele von Gruppen aus Algebra, Linearer Algebra und Geometrie geben einen Einblick in unsere zukünfigen Aufgabenstellungen.

In den Aufgaben lernen wir erste nicht-triviale Zentren kennen und die Beweismethoden sind exemplarisch zu nennen.

2. Theorie (im pdf-Format)

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3. Kurz nachgedacht!

1. Welche Elemente hat \(A_3;A_4;A_5 \)?
   Lösung
2. Nennen Sie  zwei abelsche und zwei nicht-abelsche Gruppen!
   Lösung
3. Wieviele Elemente hat \(S_n; A_n; D_n\)?
   Lösung

4. Übungsaufgaben

1. Zeigen Sie: Für \(n\geq 3: Z(S_n)=\{id\} \).
   Beweis
2. Zeigen Sie: Für \(n\geq 4: Z(A_n)=\{id \} \).
   Beweis
3. Zeigen Sie: Für \(n\geq 2: Z(GL(n,\mathbb{R})) = \{k\cdot \mathbb{E}| k\in \mathbb{R}\setminus \{0\} \} \)
   (Hinweis: Es ist beweistechnisch sinnvoll, sich zunächst notwendige Bedingungen an ein Zentrumselement zu erarbeiten, in dem man die Vertauschbarkeit mit ausgewählten Elementen der Gruppe testet.)
   Beweis

1. Überblick

Das erste Konstruktionsprinzip für Gruppen ist das äußere direkte Produkt von Gruppen. Man kennt diese Methode aus der Linearen Algebra, die für endlich-dimensionale K-Vektorräume die Isomorphie zum Kⁿ beweist.

Hierbei gewinnen wir eine neue Gruppe, indem wir zwei (oder mehrere) schon bekannte Gruppen zusammenfassen. Die einzelnen Gruppen stehen dabei wie Bausteine nebeneinander und beeinflussen sich gegenseitig nicht.

Alle grupppentheoretischen Aktionen erfolgen komponentenweise. D.h.

• zwei Gruppenelemente werden verknüpft, indem man in den jeweiligen Komponenten verknüpft
• das neue neutrale Element besteht komponentenweise aus den alten neutralen Elementen
• ein Gruppenelement wird invertiert, indem jede Komponente invertiert wird.

2. Theorie (im pdf-Format)

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3. Kurz nachgedacht!

1. Das äußere direkte Produkt von \(n\) Gruppen ist genau dann abelsch, wenn jede Komponentengruppe \(G_i\) abelsch ist.
   Lösung
2. Das Zentrum eines äußeren direkten Produktes von Gruppen ist das äußere direkte Produkt der Zentren der Komponentengruppen.
   Lösung
3. Man konstruiere eine 36-elementige Gruppe mit 6-elementigem Zentrum.
   Lösung

1. Überblick

Das zweite Konstruktionsprinzip für Gruppen ist es, innerhalb einer gegebenen Gruppe nach Teilmengen zu suchen, die ihrerseits wiederum Gruppenstruktur tragen.

In einem nächsten Schritt studieren wir mengentheoretische und algebraische Eigenschaften von Untergruppen, wie z.B.die Frage, ob der Durchschnitt bzw. die Vereinigung zweier Untergruppen wieder eine Untergruppe darstellen.

Des weiteren gibt es die Möglichkeit, sich Untergruppen zu erzeugen, indem man zu vorgegebener nicht-leerer Teilmenge S von G die kleinste S umfassende Untergruppe U bildet.

2. Theorie (im pdf-Format)

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Beweisen Sie die folgenden Sätze aus der Theorie:

1. Eine nicht-leere Teilmenge einer endlichen Gruppe ist schon dann eine Untergruppe, wenn sie abgeschlossen ist.
   Beweis
   
2. Der Durchschnitt zweier Untergruppen V,W einer Gruppe G ist immer eine Untergruppe von G.
   Beweis
3. Die Vereinigung zweier Untergruppen V,W einer Gruppe G ist genau dann eine Untergruppe, wenn sie entweder V oder W ist.
   Beweis
   
4. Das Mengenprodukt zweier Untergruppen V,W einer Gruppe G ist genau dann eine Untergruppe, wenn das Mengenprodukt kommutativ ist.
   Beweis

3. Kurz nachgedacht!

1. Ist \(U_1\leq G_1 \wedge U_2\leq G_2 \), so ist auch \( U_1\times U_2 \leq G_1\times G_2 \).
   Lösung
2. Es gibt eine Untergruppe \(U\) von \(\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2 \),die sich nicht darstellen läßt als ein Produkt von Untergruppen.
   Lösung
3. Ermitteln Sie alle zyklischen Untergruppen von \(D_n\) für \(n\in \{3;4\} \) bzw. von \(S_n\) für \(n\in \{3;4 \} \)!
   Lösung

4. Übungsaufgabe

Sei \((G,\cdot, e) \) eine endliche Gruppe. Seien \( V,W\) zwei Untergruppen von \(G\) mit \(V\cap W = \{e\} \). Dann gilt folgende Abschätzung:

\( |<V\cup W>| \geq |V|\cdot |W| \)
Beweis

 1. Überblick

Endliche zyklische Gruppen sind strukturell die einfachsten Gruppen. Die Art, Mächtigkeit und Anzahl ihrer Untergruppen ist vollständig geklärt. Da in jeder Gruppe zyklische Untergruppen existieren, lohnt sich auf jeden Fall eine präzise Bestimmung dieser zyklischen Untergruppen.

Zentral ist der Begriff der Ordnung eines Elementes s. Sie gibt an, wieviele Elemente sich durch s erzeugen lassen und wie groß infolgedessen die von s erzeugte  Untergruppe ist.

Untersucht man eine neue Gruppe, so ist ein erster Schritt immer der, sich einen Überblick über die Ordnungen der Elemente zu verschaffen.

2. Theorie (im pdf-Format)

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3. Kurz nachgedacht!

1. \(\forall k\in \mathbb{Z}\) mit \(s^k=e: ord s|k \)
   Lösung
2. Seien \(G_1,G_2\) endliche Gruppen. Sei \(G:=G_1\times G_2 \) und \(g=(g_1;g_2)\) in G. Dann gilt: \(ord g = kgV(ord g_1;ord g_2) \).
   Lösung
3. Man bestimme die Untergruppen und Untergruppenstrukturen von zyklischen Gruppen \(G_n\) mit \(|G_n| = n; n\in \{6,8;12\} \).
   Lösung
4. Sei \((G,\cdot , e) \) eine Gruppe, so dass jedes Element aus \(G\) eine Ordnung kleiner gleich 2 hat. Dann ist die Gruppe abelsch.
   Lösung

4. Übungsaufgaben

1. Man beweise die Formel für die Ordnung einer k-ten Potenz von s! (siehe Theorie!)
   Beweis
2. Man bestimme das Zentrum der Diedergruppe D_n !
   Lösung

1. Überblick

Der Satz von Lagrange gibt eine notwendige Bedingung an für die  Existenz einer Untergruppe U in einer endlichen Gruppe G.

Nur dann kann U eine Untergruppe in G sein, wenn die Ordnung von U ein Teiler der Ordnung von G ist. Das schränkt die Möglichkeit für Untergruppen wesentlich ein.

Man kann salopp formulieren: Je weniger Teiler eine Gruppenordnung hat, desto geringer die Chance auf Untergruppen zu stoßen.

Im Extremfall gilt tatsächlich: Ist die Gruppenordnung eine Primzahl, so gibt es nur die trivialen Untergruppen.

2. Theorie (im pdf-Format)

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3. Folgerungen aus dem Satz von Lagrange

3.1. In einer endlichen Gruppe teilt die Ordnung eines jeden Elementes die Gruppenordnung.

Beweis

3.2. Ist die Gruppenordnung eine Primzahl, so ist die Gruppe zyklisch.

Beweis

3.3. (kleiner Fermat)  Verknüpft man in einer endlichen Gruppe G ein beliebiges  Gruppenelement |G|- fach mit sich selbst, so erhält man das neutrale Element der Gruppe.

Beweis

3.4. Für jede ganze Zahl k gilt: \( k^{\varphi(n)} \equiv 1 \)mod n 

Beweis

3.5. In einer endlichen Gruppe schneiden sich zwei Untergruppen mit teilerfremder Ordnung nur im neutralen Element.

Beweis

4. Übungsaufgaben

4.1 Zeigen Sie: Alle echten Untergruppen der S₃ und der D₅ sind zyklisch. Ermitteln Sie die jeweiligen Untergruppenstrukturen!

Lösung zu S₃

Lösung zu D₅

4.2 Finden Sie zu jedem Teiler d von |S₄| wenigstens eine Untergruppe U der S₄ mit |U|=d.

Lösung

Herbst 2011 - Thema 2 - Aufgabe 2

Sei \(G\) eine endliche Gruppe und sei \(n\geq 1\) mit \(ggT(n,ord(G))=1 \). Zeigen Sie, dass es zu jedem Element \(a\in G\) ein eindeutig bestimmtes Element \(b\in G\) gibt mit \(b^n=a\).

Lösung

Frühjahr 2013 - Thema 2 - Aufgabe 2

Sei \(q>1\) eine Potenz einer Primzahl \(p\) und  sei \(\mathbb{F}_q\) ein Körper mit \(q\) Elementen. Sei \(n\) eine natürliche Zahl und sei \(G=GL_n(\mathbb{F}_q)\) die Gruppe der invertierbaren \(n\times n\) -Matrizen über \(\mathbb{F}_q\).

a) Zeigen Sie, dass die Gruppe \(G\) von Ordnung \( q^{\left(\begin{array}{c}n\\2 \end{array}\right)}\cdot (q^n-1)\cdot (q^{n-1}-1)\cdots (q-1) \) ist.

b) Zeigen Sie, dass die oberen Dreiecksmatrizen mit charakteristischem Polynom \( (X-1)^n\) eine Sylowsche p-Untergruppe von \(G\) bilden.

Lösung

Herbst 2013 - Thema 3 - Aufgabe 3

a) Eine Permutation \(\sigma \) sei das Produkt zweier disjunkter Zykel der teilerfremden Längen k und l. Welche Ordnung hat \(\sigma \)?

b) Sei \( a(n)\) die größte Elementordnung in der symmetrischen Gruppe \(S_n\). Man zeige \(\frac{a(n)}{n} \rightarrow \infty \)

Lösung