Staatsexamenskurs Analysis (nicht-vertieft)

Augustin-Louis Cauchy (1789 - 1857)

- Was ist eine Ableitung in Wahrheit? Antwort: Ein Grenzwert.

- Was ist ein Integral in Wahrheit? Antwort: Ein Grenzwert.

- Was ist eine unendliche Reihe \(a_1+a_2+a_3+\ldots \) in Wahrheit? Antwort: Ein Grenzwert.

- Was ist ein Grenzwert? Antwort: Eine Zahl.

(aus Cauchy, Cours d'Analyse, 1821)

zur Theorie

kurz nachgedacht

1. Beweisen Sie per Definition, dass die Punktfolge \( (a_n)_{n\in \mathbb{N}} \) mit \(a_n = \frac{3n+4}{5n+6} \) gegen \(a=\frac{3}{5} \) konvergiert.
   Lösung
   
   
2. Gegeben sei die konvergente Folge \( (a_n)_{n\in \mathbb{N}} \) mit \( \lim\limits_{n\rightarrow \infty}a_n =a\) und ein \( c\in\mathbb{R} \) mit
   \(a_n >c\) für alle \( n\in \mathbb{N} \).
   Zeigen Sie (eventuell mit Widerspruchsbeweis): \( \lim\limits_{n\rightarrow\infty} a_n \geq 0 \)
   Lösung
   
   

Übungsaufgaben

1. Gegeben sei die durch
    \(\displaystyle  a_n = \frac{(\sin(n))^3 + 3\cos(n)}{ \sqrt{n}},\; n \geq 1 \)
   definierte Folge \( (a_n)_{n\geq 1} \) und eine reelle Zahl \( \varepsilon >0 \).
   Bestimmen Sie eine reelle Zahl \(a\) und eine natürliche Zahl \( N_{\varepsilon } \), so dass
    \( |a_n-a|<\varepsilon \) für alle \(n\geq N_{\varepsilon} \).
   Lösung
   
   
2. Sei \(q\in \mathbb{R}\) fest gegeben. Für das Konvergenzverhalten der Folge \( (a_n)_{n\in \mathbb{N} } \) mit \(a_n:= q^n\) zeige man:
   (1) Falls \(q>1 \Rightarrow \) Die Folge \((q^n)_{n\in \mathbb{N}}\) divergiert bestimmt gegen \(+\infty\).
   (2) Falls \(q=1\Rightarrow\) Die Folge \((q^n)_{n\in \mathbb{N} }\) konvergiert; \( \lim\limits_{n\rightarrow\infty}q^n =1 \).
   (3) Falls \(|q|<1\Rightarrow \) Die Folge \((q^n)_{n\in \mathbb{N}} \) konvergiert; \( \lim\limits_{n\rightarrow\infty}q^n =0\).
   (4) Falls \(q\leq -1\Rightarrow \) Die Folge \((q^n)_{n\in \mathbb{N}} \) divergiert unbestimmt.
   Lösung

zur Theorie

kurz nachgedacht

1. Gegeben sei die Folge \((a_n)_{n\in \mathbb{N}} \) mit 
   \( a_1=4,\;\; a_{n+1}=\sqrt{6+a_n};\; n\geq 1\)
   Zeigen Sie, dass \( (a_n)_{n\in \mathbb{N}} \) konvergiert und berechnen Sie den Grenzwert.
   Lösung

Übungsaufgaben

1. Gegeben sei die Folge \((a_n)_{n\in \mathbb{N}} \) mit
   \(a_n=\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{n+k} \) für alle \( n\in \mathbb{N} \)
   a) Zeigen Sie: Die Folge \( (a_n)_{n\in \mathbb{N}} \) ist streng monoton wachsend.
   b) Zeigen Sie: Die Folge \( (a_n)_{n\in \mathbb{N}} \) ist konvergent.
   Lösung
   
   
2. Man zeige, dass für jeden Startwert \( x_0\in[0;3] \) die durch die Rekursion
   \(x_{n+1} = \frac{1}{5}(x_n^2+6) ,\; n\in \mathbb{N}_0 \)
   definierte Folge konvergiert und bestimme jeweils den Grenzwert.
   Lösung
   
   
3. Seien \(a;b\in \mathbb{R}\) mit \(a<b\) und sei \(f:[a;b]\rightarrow [a;b] \) eine monoton wachsende Funktion.
   Für ein gegebenes \(x_1\in [a;b] \) definieren wir die Folge \((x_n)_{n\in \mathbb{N}} \) rekursiv durch
   \(x_{n+1}=f(x_n);\; \) für alle \( n \geq 1\).
   Zeigen Sie:
   a) Die Folge \((x_n)_{n\in \mathbb{N}}  \) ist monoton.
   b) Die Folge \((x_n)_{n\in \mathbb{N}} \) konvergiert.
   c) Ist \(f\) zudem stetig, dann ist der Grenzwert \(x\) der Folge \((x_n)_{n\in \mathbb{N} } \) ein Fixpunkt von \(f\).
   Lösung

zur Theorie

kurz nachgedacht

1. Beweisen Sie mit Hilfe der Grenzwertsätze, dass die Punktfolge \( (a_n)_{n\in \mathbb{N}} \) mit \(\displaystyle a_n= \frac{3n+4}{5n+6} \) gegen \( a= \displaystyle\frac{3}{5} \) konvergiert.
   Lösung
2. Beweisen Sie, dass die Punktfolge \( (a_n)_{n\geq 1} \) mit \(\displaystyle a_n=\frac{(2n^2+1)(n+1)^n}{(3n+1)n^{n+1} }\) konvergiert, und bestimmen Sie den Grenzwert der Folge.
   Lösung
   
   
3. Berechnen Sie \( \lim\limits_{n\rightarrow\infty} \left(\cos\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\right)^n \)
   (Hinweis: Sie dürfen folgenden Grenzwert unbewiesen benutzen: \( \lim\limits_{t\rightarrow 0} \frac{\ln(\cos(t))}{t^2} = - \frac{1}{2} \)
   Lösung

Übungsaufgaben

1. Wir betrachten drei Folgen: \( (a_n)_{n\in \mathbb{N}};\;\; (b_n)_{n\in \mathbb{N}};\;\; (c_n)_{n\in \mathbb{N}} \).
   \(a_n=\sqrt{n+1000}-\sqrt{n}; \;\; b_n=\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n};\;\; c_n= \sqrt{n+\frac{n}{1000}}-\sqrt{n} \)
   Zeigen Sie:
   a) \( \forall n < 10^6 : a_n>b_n>c_n \)
   b) Welche Aussage ergibt sich für \( n = 10^6 \)?
   c) Berechnen Sie die Grenzwerte \( \lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n;\;\, \lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n; \;\; \lim\limits_{n\rightarrow\infty}c_n \); sofern die Grenzwerte existieren.
   
   (Hinweis: \( \sqrt{a}-\sqrt{b} = \displaystyle \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b} )}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \) )
   Lösung

Frühjahr 2014 - Thema 3 - Aufgabe 2

Es sei \((f_n)_{n\in \mathbb{N} } \) die durch \(f_1=f_2=1\) und \(f_{n+1}=f_n+f_{n-1}\) für alle \(n \geq 2\) rekursiv definierte Fibonacci-Folge.

a) Beweisen Sie für alle \(n\in \mathbb{N}\): \( f_n\geq \frac{4}{9} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^n \).
b) Zeigen Sie, dass die durch  \(a_n=\prod\limits_{k=1}^n\frac{f_k}{f_{k+1}} \) für \(n\in \mathbb{N} \) definierte Folge gegen 0 konvergiert.
c) Zeigen Sie, dass die Reihe \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{f_k} \) konvergiert.
(Bemerkung: Teilaufgabe c) gehört thematisch erst ins nächste Kapitel.)
 

Lösung