Staatsexamenskurs Algebra

1. Überblick

Der Satz von Lagrange gibt eine notwendige Bedingung an für die  Existenz einer Untergruppe U in einer endlichen Gruppe G.

Nur dann kann U eine Untergruppe in G sein, wenn die Ordnung von U ein Teiler der Ordnung von G ist. Das schränkt die Möglichkeit für Untergruppen wesentlich ein.

Man kann salopp formulieren: Je weniger Teiler eine Gruppenordnung hat, desto geringer die Chance auf Untergruppen zu stoßen.

Im Extremfall gilt tatsächlich: Ist die Gruppenordnung eine Primzahl, so gibt es nur die trivialen Untergruppen.

2. Theorie (im pdf-Format)

zur Theorie

3. Folgerungen aus dem Satz von Lagrange

3.1. In einer endlichen Gruppe teilt die Ordnung eines jeden Elementes die Gruppenordnung.

Beweis

3.2. Ist die Gruppenordnung eine Primzahl, so ist die Gruppe zyklisch.

Beweis

3.3. (kleiner Fermat)  Verknüpft man in einer endlichen Gruppe G ein beliebiges  Gruppenelement |G|- fach mit sich selbst, so erhält man das neutrale Element der Gruppe.

Beweis

3.4. Für jede ganze Zahl k gilt: \( k^{\varphi(n)} \equiv 1 \)mod n 

Beweis

3.5. In einer endlichen Gruppe schneiden sich zwei Untergruppen mit teilerfremder Ordnung nur im neutralen Element.

Beweis

4. Übungsaufgaben

4.1 Zeigen Sie: Alle echten Untergruppen der S₃ und der D₅ sind zyklisch. Ermitteln Sie die jeweiligen Untergruppenstrukturen!

Lösung zu S₃

Lösung zu D₅

4.2 Finden Sie zu jedem Teiler d von |S₄| wenigstens eine Untergruppe U der S₄ mit |U|=d.

Lösung