Staatsexamenskurs Lineare Algebra

In einem ersten Zugang zur Linearen Algebra studieren wir die rechnerischen Grundlagen der Lösung von Linearen Gleichungssystemen. Im Zentrum steht die korrekte und nachvollziehbare Verwendung des Gaußschen Eliminationsverfahrens. Da sich viele Probleme der Linearen Algebra auf ein passendes Lineares Gleichungssystem zurückführen lassen, sind gefestigte Kenntnisse dieser Methode unerlässlich.

zur Theorie

kurz nachgedacht

1. Bestimmen Sie die Lösungsmenge des nachfolgenden Linearen Gleichungssystems!
   
    \begin{array}{ccccccc}
   x_1  &  + & x_2 & +& x_3 & = & 9\\
   x_1 & + & 2x_2 & + & 5x_3 & = & 15\\
   x_1 & + & 3x_2 & + & 8x_3 & = & 23
   \end{array}
   Lösung
2. Bestimmen Sie die Lösungsmenge des nachfolgenden Linearen Gleichungssystems!
   
   \begin{array}{ccccccc}
   x_1 & + & 2x_2 & + & 3x_3 & = & 0\\
   4x_1 & + & 5x_2 & + & 6x_3 & = & 1\\
   7x_1 & + & 8x_2 & + & 9x_3 & = & 3
   \end{array}
   Lösung
3. Bestimmen Sie die Lösungsmenge des nachfolgenden Linearen Gleichungssystems!
   
   \begin{array}{ccccccc}
   x_1 & + & x_2 &&&= &7\\
   2x_1 & + & x_2 & + & 2x_3 & = & 5\\
   4x_1 & + & x_2 & + & 6x_3 & = & 1
   \end{array}
   Lösung

Übungsaufgaben

1. Sei \(A=\left( \begin{array}{rrrrr}
   2 & 3 & 4 & 5 & 9\\
   1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
   1 & 1  & 1 & 1 & 4\\
   1 & 0 & -1 & -2 & 3
   \end{array} \right), b= \left (\begin{array}{c} 10\\6\\4\\2 \end{array} \right), x=\left(\begin{array}{c} x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{array}\right) \)
   
   a) Bestimmen Sie den Lösungsraum des homogenen Linearen Gleichungssystems \(A\cdot x=\vec{0}\).
   b) Geben Sie die allgemeine Lösung des Linearen Gleichungssystems \(A\cdot x=b\) an.
   Lösung
   
   
2. Gegeben sei \( A=\left( \begin{array}{rrrrr}
   1 & 1 & 0 & 1 & 2\\
   2 & 1 & 1 & 0 & 3\\
   0 & 2 & -2 & 1 & 1\\
   -1 & 2 & -3 & 2 & 0\end{array} \right), \text{sowie} \; x_p=\left( \begin{array}{c} 1\\0\\3\\-1\\2 \end{array}\right).\)
   a) Bestimmen Sie den Lösungsraum des homogenen Linearen Gleichungssystems \( A\cdot x = \vec{0} \).
   b) Bestimmen Sie \( b\in \mathbb{R}^4\) so, dass \(x_p\) eine Lösung von \(A\cdot x = b\) ist und geben Sie die Lösungsmenge dieses Linearen Gleichungssystems an.
   Lösung
   
   
3. Sei \( n\in \mathbb{N}, n\geq 2\). Bestimmen Sie die Lösungsmenge \(\mathbb{L}\subset \mathbb{R}^n \) des folgenden Systems von n linearen Gleichungen.
   \( \left\{ \begin{array}{l}\sum\limits_{j=1}^kx_j - \sum\limits_{j=k+1}^n=1,\;\; k=1;2;...n-1\\ \sum\limits_{j=1}^nx_j=1\end{array}\right.\)
   Lösung
   
   
4. Lösen Sie das inhomogene Lineare Gleichungssystem in Abhängigkeit von \( t\in \mathbb{R} \).
   \begin{array}{ccccccc}
   2x_1 & + & 3x_2 & + & tx_3 & = & 3\\
   x_1 & + & x_2 & - & x_3 & = & 1\\
   x_1 & + & tx_2 & + & 3x_3 & = & 2
   \end{array}
   Lösung