Staatsexamenskurs Algebra

1. Überblick

Das zweite Konstruktionsprinzip für Gruppen ist es, innerhalb einer gegebenen Gruppe nach Teilmengen zu suchen, die ihrerseits wiederum Gruppenstruktur tragen.

In einem nächsten Schritt studieren wir mengentheoretische und algebraische Eigenschaften von Untergruppen, wie z.B.die Frage, ob der Durchschnitt bzw. die Vereinigung zweier Untergruppen wieder eine Untergruppe darstellen.

Des weiteren gibt es die Möglichkeit, sich Untergruppen zu erzeugen, indem man zu vorgegebener nicht-leerer Teilmenge S von G die kleinste S umfassende Untergruppe U bildet.

2. Theorie (im pdf-Format)

zur Theorie

Beweisen Sie die folgenden Sätze aus der Theorie:

1. Eine nicht-leere Teilmenge einer endlichen Gruppe ist schon dann eine Untergruppe, wenn sie abgeschlossen ist.
   Beweis
   
2. Der Durchschnitt zweier Untergruppen V,W einer Gruppe G ist immer eine Untergruppe von G.
   Beweis
3. Die Vereinigung zweier Untergruppen V,W einer Gruppe G ist genau dann eine Untergruppe, wenn sie entweder V oder W ist.
   Beweis
   
4. Das Mengenprodukt zweier Untergruppen V,W einer Gruppe G ist genau dann eine Untergruppe, wenn das Mengenprodukt kommutativ ist.
   Beweis

3. Kurz nachgedacht!

1. Ist \(U_1\leq G_1 \wedge U_2\leq G_2 \), so ist auch \( U_1\times U_2 \leq G_1\times G_2 \).
   Lösung
2. Es gibt eine Untergruppe \(U\) von \(\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2 \),die sich nicht darstellen läßt als ein Produkt von Untergruppen.
   Lösung
3. Ermitteln Sie alle zyklischen Untergruppen von \(D_n\) für \(n\in \{3;4\} \) bzw. von \(S_n\) für \(n\in \{3;4 \} \)!
   Lösung

4. Übungsaufgabe

Sei \((G,\cdot, e) \) eine endliche Gruppe. Seien \( V,W\) zwei Untergruppen von \(G\) mit \(V\cap W = \{e\} \). Dann gilt folgende Abschätzung:

\( |<V\cup W>| \geq |V|\cdot |W| \)
Beweis