Staatsexamenskurs Analysis (nicht-vertieft)
Requisitos de conclusão
1. Punktfolgen
1.2. Beschränktheit; Monotonie, rekursiv definierte Folgen
kurz nachgedacht
- Gegeben sei die Folge \((a_n)_{n\in \mathbb{N}} \) mit
\( a_1=4,\;\; a_{n+1}=\sqrt{6+a_n};\; n\geq 1\)
Zeigen Sie, dass \( (a_n)_{n\in \mathbb{N}} \) konvergiert und berechnen Sie den Grenzwert.
Lösung
Übungsaufgaben
- Gegeben sei die Folge \((a_n)_{n\in \mathbb{N}} \) mit
\(a_n=\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{n+k} \) für alle \( n\in \mathbb{N} \)
a) Zeigen Sie: Die Folge \( (a_n)_{n\in \mathbb{N}} \) ist streng monoton wachsend.
b) Zeigen Sie: Die Folge \( (a_n)_{n\in \mathbb{N}} \) ist konvergent.
Lösung - Man zeige, dass für jeden Startwert \( x_0\in[0;3] \) die durch die Rekursion
\(x_{n+1} = \frac{1}{5}(x_n^2+6) ,\; n\in \mathbb{N}_0 \)
definierte Folge konvergiert und bestimme jeweils den Grenzwert.
Lösung - Seien \(a;b\in \mathbb{R}\) mit \(a<b\) und sei \(f:[a;b]\rightarrow [a;b] \) eine monoton wachsende Funktion.
Für ein gegebenes \(x_1\in [a;b] \) definieren wir die Folge \((x_n)_{n\in \mathbb{N}} \) rekursiv durch
\(x_{n+1}=f(x_n);\; \) für alle \( n \geq 1\).
Zeigen Sie:
a) Die Folge \((x_n)_{n\in \mathbb{N}} \) ist monoton.
b) Die Folge \((x_n)_{n\in \mathbb{N}} \) konvergiert.
c) Ist \(f\) zudem stetig, dann ist der Grenzwert \(x\) der Folge \((x_n)_{n\in \mathbb{N} } \) ein Fixpunkt von \(f\).
Lösung