1. Lineare Gleichungssysteme, Determinanten- und Matrizenrechnung

1.2. Determinanten

Ein zentrales Mittel zur Lösung von n Linearen Gleichungen in n Unbestimmten ist die Determinantenberechnung. Bedeutende Mathematiker wie Leibniz, Maclaurin, Bezout und Vandermonde arbeiteten ca. 100 Jahre an dieser Theorie, bis sie die uns heute vertraute Form fand.

Der Wert der Determinante entscheidet (=determiniert), ob das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung besitzt oder nicht. Damit ist ein Hilfsmittel an der Hand, das eine qualitative Aussage erlaubt, ohne das System explizit gelöst zu haben.

zur Theorie

kurz nachgedacht

  1. Für \( a,b,c\in \mathbb{R}\) sei

    \( A_{a,b,c}=\left(\begin{array}{cccc}  a & 1 & b & 2\\
                                                        0 & 0 & c & 3\\
                                                        1 & 1 & 1 & 1\\
                                                         0 & 0 & 1 & 1\end{array}\right) \)

    Bestimmen Sie alle \(a,b,c\in \mathbb{R}\), so dass \(\det(A_{a,b,c})\)=0.
    Lösung

  2. Berechnen Sie für \(b\in \mathbb{R}\) die Determinante der Matrix

    \(\left(\begin{array}{ccc} (b-1)b & 2b & -4\\ 2(b-1)b & 2b & 2\\ 3(b-1)b & b & 6\end{array}\right).\)
    Lösung

  3. Beweisen Sie folgende Rechenregeln für Matrizen \(A,B\in M(n\times n,\mathbb{R})\):
    (i) \( (A+B)^{\top} =A^{\top}+B^{\top}\)
    (ii) \( (A\cdot B)^{\top} = B^{\top}\cdot A^{\top} \)
    Lösung

Übungsaufgaben

  1. Gegeben sei die Matrix
    \(B=\left(\begin{array}{ccccc}
    0 & 1 & 1 & 1 & 1\\
    1 & 0 & 2 & 2 & 2\\
    1 & 2 & 0 & 3 & 3\\
    1 & 2 & 3 & 0 & 4\\
    1 & 2 & 3 & 4 & 0\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{5\times 5}\)

    a) Man berechne die Determinante von B.
    b) Man zeige mit Hilfe von a), dass die Matrix \( C=-\frac{1}{2}B\in \mathbb{R}^{5\times 5}\) die Determinante \(\det C < -1\) besitzt.
    c) Man untersuche, ob es eine Matrix \(F\in \mathbb{R}^{5\times 5} \) mit \( F^2=C\) gibt.
    Lösung
  2. Gegeben seien die Matrizen:
    \(T_1 = (1); T_2=\left(\begin{array}{cc}1 & 1\\1 & 2\end{array}\right); T_3=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0\\1 & 2 & 1\\0 & 1 & 2\end{array}\right);
    T_n=\left(\begin{array}{cccccc}
    1 & 1 & 0 & \ldots & \ldots & 0\\
    1 & 2 & 1 & 0        &           & \vdots\\
    0 & 1 & 2 & 1        & \ddots & \vdots\\
    \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 0\\
    \vdots &             & \ddots & \ddots & \ddots & 1\\
    0         & \ldots   & \ldots  & 0           &     1    & 2\end{array}\right) \)     für \( n\geq 4\)    
    a) Zeigen Sie mit Hilfe des Determinanten-Entwicklungssatzes die Rekursionsformel

    \(\det(T_n)=2\cdot \det(T_{n-1})-\det(  T_{n-2})\) für \( n>2.\)

    b) Zeigen Sie mit vollständiger Induktion \( \det(T_n)=1\) für alle \(n\in \mathbb{N}.\)
    Lösung