Staatsexamenskurs Analysis (nicht-vertieft)

zur Theorie

kurz nachgedacht

1. Beweisen Sie per Definition, dass die Punktfolge \( (a_n)_{n\in \mathbb{N}} \) mit \(a_n = \frac{3n+4}{5n+6} \) gegen \(a=\frac{3}{5} \) konvergiert.
   Lösung
   
   
2. Gegeben sei die konvergente Folge \( (a_n)_{n\in \mathbb{N}} \) mit \( \lim\limits_{n\rightarrow \infty}a_n =a\) und ein \( c\in\mathbb{R} \) mit
   \(a_n >c\) für alle \( n\in \mathbb{N} \).
   Zeigen Sie (eventuell mit Widerspruchsbeweis): \( \lim\limits_{n\rightarrow\infty} a_n \geq 0 \)
   Lösung
   
   

Übungsaufgaben

1. Gegeben sei die durch
    \(\displaystyle  a_n = \frac{(\sin(n))^3 + 3\cos(n)}{ \sqrt{n}},\; n \geq 1 \)
   definierte Folge \( (a_n)_{n\geq 1} \) und eine reelle Zahl \( \varepsilon >0 \).
   Bestimmen Sie eine reelle Zahl \(a\) und eine natürliche Zahl \( N_{\varepsilon } \), so dass
    \( |a_n-a|<\varepsilon \) für alle \(n\geq N_{\varepsilon} \).
   Lösung
   
   
2. Sei \(q\in \mathbb{R}\) fest gegeben. Für das Konvergenzverhalten der Folge \( (a_n)_{n\in \mathbb{N} } \) mit \(a_n:= q^n\) zeige man:
   (1) Falls \(q>1 \Rightarrow \) Die Folge \((q^n)_{n\in \mathbb{N}}\) divergiert bestimmt gegen \(+\infty\).
   (2) Falls \(q=1\Rightarrow\) Die Folge \((q^n)_{n\in \mathbb{N} }\) konvergiert; \( \lim\limits_{n\rightarrow\infty}q^n =1 \).
   (3) Falls \(|q|<1\Rightarrow \) Die Folge \((q^n)_{n\in \mathbb{N}} \) konvergiert; \( \lim\limits_{n\rightarrow\infty}q^n =0\).
   (4) Falls \(q\leq -1\Rightarrow \) Die Folge \((q^n)_{n\in \mathbb{N}} \) divergiert unbestimmt.
   Lösung