Staatsexamenskurs Analysis (nicht-vertieft)

zur Theorie

kurz nachgedacht

1. Gegeben sei die Folge \((a_n)_{n\in \mathbb{N}} \) mit 
   \( a_1=4,\;\; a_{n+1}=\sqrt{6+a_n};\; n\geq 1\)
   Zeigen Sie, dass \( (a_n)_{n\in \mathbb{N}} \) konvergiert und berechnen Sie den Grenzwert.
   Lösung

Übungsaufgaben

1. Gegeben sei die Folge \((a_n)_{n\in \mathbb{N}} \) mit
   \(a_n=\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{n+k} \) für alle \( n\in \mathbb{N} \)
   a) Zeigen Sie: Die Folge \( (a_n)_{n\in \mathbb{N}} \) ist streng monoton wachsend.
   b) Zeigen Sie: Die Folge \( (a_n)_{n\in \mathbb{N}} \) ist konvergent.
   Lösung
   
   
2. Man zeige, dass für jeden Startwert \( x_0\in[0;3] \) die durch die Rekursion
   \(x_{n+1} = \frac{1}{5}(x_n^2+6) ,\; n\in \mathbb{N}_0 \)
   definierte Folge konvergiert und bestimme jeweils den Grenzwert.
   Lösung
   
   
3. Seien \(a;b\in \mathbb{R}\) mit \(a<b\) und sei \(f:[a;b]\rightarrow [a;b] \) eine monoton wachsende Funktion.
   Für ein gegebenes \(x_1\in [a;b] \) definieren wir die Folge \((x_n)_{n\in \mathbb{N}} \) rekursiv durch
   \(x_{n+1}=f(x_n);\; \) für alle \( n \geq 1\).
   Zeigen Sie:
   a) Die Folge \((x_n)_{n\in \mathbb{N}}  \) ist monoton.
   b) Die Folge \((x_n)_{n\in \mathbb{N}} \) konvergiert.
   c) Ist \(f\) zudem stetig, dann ist der Grenzwert \(x\) der Folge \((x_n)_{n\in \mathbb{N} } \) ein Fixpunkt von \(f\).
   Lösung