Staatsexamenskurs Algebra

1. Überblick

Im ersten Kapitel der Gruppentheorie lernen wir zunächst den Begriff einer Gruppe kennen, sowie die Bezeichnungen abelsche Gruppe und endliche Grupppe.

Die im Staatsexamen geprüften Gruppen sind im wesentlichen endliche Gruppen, unendliche Gruppen bilden eher eine Randerscheinung.

Naheliegend ist dann der Begriff des Zentrums einer Gruppe, die Menge aller Gruppenelemente, die mit allen Gruppenelementen vertauschbar ist. Das Zentrum gibt einen Maßstab, wie "abelsch" eine Gruppe ist.

Erste Beispiele von Gruppen aus Algebra, Linearer Algebra und Geometrie geben einen Einblick in unsere zukünfigen Aufgabenstellungen.

In den Aufgaben lernen wir erste nicht-triviale Zentren kennen und die Beweismethoden sind exemplarisch zu nennen.

2. Theorie (im pdf-Format)

zur Theorie

3. Kurz nachgedacht!

1. Welche Elemente hat $A_3;A_4;A_5$?
   Lösung
2. Nennen Sie  zwei abelsche und zwei nicht-abelsche Gruppen!
   Lösung
3. Wieviele Elemente hat $S_n; A_n; D_n$?
   Lösung

4. Übungsaufgaben

1. Zeigen Sie: Für $n\geq 3: Z(S_n)=\{id\}$.
   Beweis
2. Zeigen Sie: Für $n\geq 4: Z(A_n)=\{id \}$.
   Beweis
3. Zeigen Sie: Für $n\geq 2: Z(GL(n,\mathbb{R})) = \{k\cdot \mathbb{E}| k\in \mathbb{R}\setminus \{0\} \}$
   (Hinweis: Es ist beweistechnisch sinnvoll, sich zunächst notwendige Bedingungen an ein Zentrumselement zu erarbeiten, in dem man die Vertauschbarkeit mit ausgewählten Elementen der Gruppe testet.)
   Beweis