Staatsexamenskurs Analysis (nicht-vertieft)

zur Theorie

kurz nachgedacht

1. Beweisen Sie mit Hilfe der Grenzwertsätze, dass die Punktfolge \( (a_n)_{n\in \mathbb{N}} \) mit \(\displaystyle a_n= \frac{3n+4}{5n+6} \) gegen \( a= \displaystyle\frac{3}{5} \) konvergiert.
   Lösung
2. Beweisen Sie, dass die Punktfolge \( (a_n)_{n\geq 1} \) mit \(\displaystyle a_n=\frac{(2n^2+1)(n+1)^n}{(3n+1)n^{n+1} }\) konvergiert, und bestimmen Sie den Grenzwert der Folge.
   Lösung
   
   
3. Berechnen Sie \( \lim\limits_{n\rightarrow\infty} \left(\cos\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\right)^n \)
   (Hinweis: Sie dürfen folgenden Grenzwert unbewiesen benutzen: \( \lim\limits_{t\rightarrow 0} \frac{\ln(\cos(t))}{t^2} = - \frac{1}{2} \)
   Lösung

Übungsaufgaben

1. Wir betrachten drei Folgen: \( (a_n)_{n\in \mathbb{N}};\;\; (b_n)_{n\in \mathbb{N}};\;\; (c_n)_{n\in \mathbb{N}} \).
   \(a_n=\sqrt{n+1000}-\sqrt{n}; \;\; b_n=\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n};\;\; c_n= \sqrt{n+\frac{n}{1000}}-\sqrt{n} \)
   Zeigen Sie:
   a) \( \forall n < 10^6 : a_n>b_n>c_n \)
   b) Welche Aussage ergibt sich für \( n = 10^6 \)?
   c) Berechnen Sie die Grenzwerte \( \lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n;\;\, \lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n; \;\; \lim\limits_{n\rightarrow\infty}c_n \); sofern die Grenzwerte existieren.
   
   (Hinweis: \( \sqrt{a}-\sqrt{b} = \displaystyle \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b} )}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \) )
   Lösung