______________________________________________________________________________

vhb - Kurs: Grundlagen der elementaren Zahlentheorie

III.3.3. Gesetz der besten Approximation

Man sieht leicht, dass die Kettenbruchentwicklung einer Irrationalzahl eindeutig ist. Dies liefert eine Möglichkeit, die Menge ℝ der reellen Zahlen aus der Menge ℚ der rationalen Zahlen zu konstruieren. Ferner, liefert die Kettenbruchentwicklung eine Ordnung auf der reellen Achse.

Gegeben zwei reelle Zahlen α = [a0,…,an,αn+1] und α' = [a0,…,an,αn+1'] mit denselben ersten Teilnennern, dann folgt, dass jedes α'', das zwischen α und α' liegt, eine Kettenbruchentwicklung besitzt, die mit denselben Teilnennern startet, wie die von α und α', nämlich:

α'' = [a ,...,a ,α '' ] 0 n n+1
für irgendein αn+1'' zwischen αn+1 und αn+1'. Dies zeigt man leicht mit Induktion.
Der zweite Satz aus dem vorherigen Kapitel zeigt, wie wichtig Kettenbrüche in der Theorie der diophantischen Approximation sind. Es folgt nämlich unmittelbar: Ist α = [a0,a1,…] irrational mit Näherungsbrüchen pn/qn, dann gilt

| | || pn-|| --1---- |α − q | < a q2. n n+1 n

Dies verschärft den Dirichletschen Approximationssatz und die Folge der Näherungsbrüche approximiert α besser und besser (denn die Teilnenner wachsen streng monoton).
Diese Beobachtung ist kein Wunder wie Lagrange 1770 bewiesen hat:

Satz (Gesetz der besten Approximation).

Sei α irgendeine reelle Zahl mit Näherungsbrüchen pn/qn. Ist n ≥ 2 und sind p,q natürliche Zahlen mit 0 < q ≤ qn und p/q ≠ pn/qn, so gilt

|qnα − pn| < |q α − p|.

Das Gesetz der besten Approximation besagt also, dass die besten rationalen Approximationen durch die Näherungsbrüche der Kettenbruchentwicklung gegeben sind. Dies lässt sich an Beispielen veranschaulichen - ein besonders Prominentes ist unser täglich verwendetes Papierformat Din-A.

Beweis. Wir dürfen annehmen, dass p und q teilerfremd sind. Wegen

|qnα − pn| < |qn−1α − pn−1|

genügt es, die Behauptung unter der Annahme qn−1< q ≤ qn zu zeigen; die volle Aussage ergibt sich dann per Induktion. Gilt q = qn, so ist p ≠ pn und

|| || |p-− pn|≥ 1-. |q qn| qn
Allerdings gilt
| | | pn | 1 1 ||α − ---|| ≤ -2-< ---- qn qn 2qn ,

denn qn+1 ≥ 3 für n ≥ 2. Ferner gilt

| | | | | | | | || p|| ||p- pn|| || pn|| -1-- || pn|| |α − q| ≥ |q − q | − |α − q | > 2q > |α − q | , n n n n

was die zu beweisende Ungleichung nach Multiplikation mit q = qn liefert.

Es verbleibt der Fall: qn−1< q < qn. Das lineare Gleichungssystem

pnX + pn−1Y = p und qnX + qn−1Y = q

besitzt die Lösung

x = -pqn−1-−-qpn−1--= ±(pqn− 1 − qpn −1) pnqn−1 − pn−1qn

und
y = ---pqn −-qpn----= ± (pqn − qpn); pnqn−1 − pn−1qn

Dies verifiziert man durch Nachrechnen. Tatsächlich ist diese Lösung eindeutig, d.h. es gibt neben dieser Lösung keine weitere, was man mit Hilfe der Cramerschen Regel zeigen kann (welche vielleicht aus der Schule bekannt ist, auf jeden Fall aber Thema der Lineraen Algebra sein wird). Insbesondere sind x und y von Null verschiedene ganze Zahlen. Offensichtlich haben x und y unterschiedliches Vorzeichen (denn qn−1< qnx + qn−1y = q < qn+1) und damit qnα − pn und qn−1α − pn−1 ebenso. Also besitzen x(qnα − pn) und y(qn−1α − pn−1) dasselbe Vorzeichen. Nach Konstruktion ist
qα − p = x(qnα − pn ) + y(qn− 1α − pn−1),

und also folgt

|qα − p | > |qn−1α − pn− 1| > |qnα − pn|,

was zu zeigen war. qed.

Eine Irrationalzahl α heißt quadratisch irrational, falls sie Wurzel eines quadratischen Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten ist; da α irrational ist, ist das Polynom irreduzibel (d.h. nicht als Produkt zweier linearer Polynome mit rationalen Koeffizienten darstellbar). Jede relle quadratische Irrationalität lässt sich also darstellen als

-- a + b√ d α = -------- , c

wobei a,b ∈ ℤ, c,d ∈ ℕ. Dies ergibt sich unmittelbar durch das Lösen der zu Grunde liegenden quadratischen Gleichung. Alle Beispiele dieser quadratischen Irrationalitäten haben folgendes gemein: Ihre Kettenbruchentwicklung ist periodisch! Hierbei heißt ein Kettenbruch [a0,a1,…] periodisch, falls es einen Index ℓ gibt, so dass an+ℓ = an für alle hinreichend großen n. Wir schreiben

-------------- [a0,a1, ...,ar,ar+1,...,ar+ℓ] = [a0,a1,...,ar,ar+1,...,ar+ ℓ,ar+1,...,ar+ ℓ,...];

hier gelte an+ℓ = an für alle n ≥ r + 1. Die Folge ar+1,…,ar+ℓ heißt Peridode und ℓ ist ihre Länge. Die minimale Periode nennt man auch die primitive Periode. Der folgende Satz beschreibt die Kettenbruchentwicklung von Quadratwurzeln in sehr expliziter Weise: Genau dann wenn d ∈ ℕ kein Quadrat ist, gilt
[[ ] ------------------[---]] √ -- √ -- √ -- d = d ,a1,a2,...,a2,a1,2 d ,

wobei a1,a2,…,a2,a1 ein Palindrom ist. Dies wurde von Galois bewiesen, der tragisch in einem Duell verstarb und trotz seines jungen Alters unsterblich für die Algebra und Zahlentheorie ist. Wir verzichten hier auf den Beweis.