Staatsexamenskurs Algebra

Herbst 2011 - Thema 2 - Aufgabe 2

Sei $G$ eine endliche Gruppe und sei $n\geq 1$ mit $ggT(n,ord(G))=1$. Zeigen Sie, dass es zu jedem Element $a\in G$ ein eindeutig bestimmtes Element $b\in G$ gibt mit $b^n=a$.

Lösung

Frühjahr 2013 - Thema 2 - Aufgabe 2

Sei $q>1$ eine Potenz einer Primzahl $p$ und  sei $\mathbb{F}_q$ ein Körper mit $q$ Elementen. Sei $n$ eine natürliche Zahl und sei $G=GL_n(\mathbb{F}_q)$ die Gruppe der invertierbaren $n\times n$ -Matrizen über $\mathbb{F}_q$.

a) Zeigen Sie, dass die Gruppe $G$ von Ordnung $q^{\left(\begin{array}{c}n\\2 \end{array}\right)}\cdot (q^n-1)\cdot (q^{n-1}-1)\cdots (q-1)$ ist.

b) Zeigen Sie, dass die oberen Dreiecksmatrizen mit charakteristischem Polynom $(X-1)^n$ eine Sylowsche p-Untergruppe von $G$ bilden.

Lösung

Herbst 2013 - Thema 3 - Aufgabe 3

a) Eine Permutation $\sigma$ sei das Produkt zweier disjunkter Zykel der teilerfremden Längen k und l. Welche Ordnung hat $\sigma$?

b) Sei $a(n)$ die größte Elementordnung in der symmetrischen Gruppe $S_n$. Man zeige $\frac{a(n)}{n} \rightarrow \infty$

Lösung