1. Gruppe 1

1.2. Äußeres direktes Produkt von Gruppen

1. Überblick

Das erste Konstruktionsprinzip für Gruppen ist das äußere direkte Produkt von Gruppen. Man kennt diese Methode aus der Linearen Algebra, die für endlich-dimensionale K-Vektorräume die Isomorphie zum Kn beweist.

Hierbei gewinnen wir eine neue Gruppe, indem wir zwei (oder mehrere) schon bekannte Gruppen zusammenfassen. Die einzelnen Gruppen stehen dabei wie Bausteine nebeneinander und beeinflussen sich gegenseitig nicht.

Alle grupppentheoretischen Aktionen erfolgen komponentenweise. D.h.

  • zwei Gruppenelemente werden verknüpft, indem man in den jeweiligen Komponenten verknüpft
  • das neue neutrale Element besteht komponentenweise aus den alten neutralen Elementen
  • ein Gruppenelement wird invertiert, indem jede Komponente invertiert wird.

2. Theorie (im pdf-Format)

zur Theorie

3. Kurz nachgedacht!

  1. Das äußere direkte Produkt von \(n\) Gruppen ist genau dann abelsch, wenn jede Komponentengruppe \(G_i\) abelsch ist.
    Lösung
  2. Das Zentrum eines äußeren direkten Produktes von Gruppen ist das äußere direkte Produkt der Zentren der Komponentengruppen.
    Lösung
  3. Man konstruiere eine 36-elementige Gruppe mit 6-elementigem Zentrum.
    Lösung