Staatsexamenskurs Lineare Algebra

Herbst 2011 - Thema 3 - Aufgabe 4

a) Bestimmen Sie alle \(t\in \mathbb{R}\), für welche die Determinante der Matrix
\(A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & t & t^2\\
t & 2 & t\\
1 & t  & 3\end{array}\right) \)
ungleich 0 ist.
b) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von \(t\in \mathbb{R}\) alle Lösungen des inhomogenen Linearen Gleichungssystems
\( A\cdot \left(\begin{array}{c} x\\y\\z\end{array}\right)= \left( \begin{array}{c} 1\\2\\1 \end{array}\right)\).
Lösung

Herbst 2012 - Thema 3 - Aufgabe 4

Gegeben sei das Lineare Gleichungssystem \( (G_t)\) über \(\mathbb{R} \):
\( \begin{array}{ccc}
-x+3z & = & 3\\
-2x-ty+z & = & 2\\
x+y+tz & = & 1\end{array} \)
a) Für welche \(t\in \mathbb{R} \) ist \( (G_t)\) eindeutig lösbar?
b) Für welche \(t\in \mathbb{R} \) hat \((G_t)\) keine Lösungen?
c) Für welche \( t\in \mathbb{R} \) hat \( (G_t)\) mehrere Lösungen?
d) Geben Sie in den Fällen der Lösbarkeit die Lösungsmenge von \( (G_t)\) an.
Lösung

Herbst 2019 - Thema 2 - Aufgabe 1

Für \( a\in \mathbb{R} \) sei die reelle Matrix
\( M_a = \left(\begin{array}{cccc}
a & 0 & 1 & 0\\
0 & a & 0 & 1\\
1 & 0 & a & 0\\
0 & 1 & 0 & a\end{array}\right)\in \mathbb{R}^{4 \times 4} \) gegeben.
a) Zeigen Sie, dass die Determinante von \(M_a\) den Wert \( \det M_a= a^4-2a^2+1\) hat.
b) Sei \(b=(1;1;1;1)^{\top}\in \mathbb{R}^4 \). Bestimmen Sie alle \( a\in \mathbb{R}\), für welche die Lösungsmenge \(\mathbb{L}_a=\{ x\in \mathbb{R}^4: M_ax=b\} \) mehr als ein Element hat. Geben Sie in diesem Fall/ diesen Fällen die Lösungsmenge konkret an.
Lösung