1. Ableitung

1.7. Aufgaben

Aufgaben

Aufgabe 1
  • Differenzieren Sie den Term für das Volumen einer Kugel nach dem Radius \(r\). Interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch und erklären Sie dies mithilfe verschiedener Grundvorstellungen.
  • Wiederholen Sie das für das Volumen eines Würfels.
  • Betrachten Sie auch die Ableitung des Terms für das Volumen eines Kegels konstanter Höhe in Abhängigkeit vom Radius des Grundkreises. Inwiefern ist dieser Fall anders als die vorhergehe
Aufgabe 2
  • Begründen Sie mit möglichst vielen verschiedenen Grundvorstellungen, dass an der Stelle eines lokalen Extremums die Ableitung 0 ist.
  • Ein Schüler sagt, die Wurzelfunktion \(f:x\to \sqrt{x}\) habe in \(x=0\) ein globales Minimum. Eine Mitschülerin entgegnet, die erste Ableitung sei dort aber nicht 0. Klären Sie die Lage!

Aufgabe 3
  • Begründen Sie, warum die Betragsfunktion  an der Stelle 0 nicht differenzierbar ist.
  • Untersuchen Sie die symmetrische Ableitung \[\lim_{n \to 0} \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}\] für die Funktionen mit den Termen \(x^2\), \(x^3\) , \(|x|\).
  • Nennen Sie Vor- und Nachteile der symmetrischen Ableitung.

Aufgabe 4
  • Erläutern Sie im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen die Begriffe
    • allgemeine Form der Funktionsgleichung,
    • Scheitelpunktform und
    • Quadratische Ergänzung
  • Erläutern Sie, wie mit Hilfe der quadratischen Ergänzung ein Extremwertproblem ohne Verwendung der Ableitung gelöst werden kann.
  • Führen Sie dieses Verfahren an einem für den Analysisunterricht geeigneten Beispiel durch.
  • Erläutern Sie Vor- und Nachteile.