Staatsexamenskurs Algebra

 1. Überblick

Endliche zyklische Gruppen sind strukturell die einfachsten Gruppen. Die Art, Mächtigkeit und Anzahl ihrer Untergruppen ist vollständig geklärt. Da in jeder Gruppe zyklische Untergruppen existieren, lohnt sich auf jeden Fall eine präzise Bestimmung dieser zyklischen Untergruppen.

Zentral ist der Begriff der Ordnung eines Elementes s. Sie gibt an, wieviele Elemente sich durch s erzeugen lassen und wie groß infolgedessen die von s erzeugte  Untergruppe ist.

Untersucht man eine neue Gruppe, so ist ein erster Schritt immer der, sich einen Überblick über die Ordnungen der Elemente zu verschaffen.

2. Theorie (im pdf-Format)

zur Theorie

3. Kurz nachgedacht!

1. \(\forall k\in \mathbb{Z}\) mit \(s^k=e: ord s|k \)
   Lösung
2. Seien \(G_1,G_2\) endliche Gruppen. Sei \(G:=G_1\times G_2 \) und \(g=(g_1;g_2)\) in G. Dann gilt: \(ord g = kgV(ord g_1;ord g_2) \).
   Lösung
3. Man bestimme die Untergruppen und Untergruppenstrukturen von zyklischen Gruppen \(G_n\) mit \(|G_n| = n; n\in \{6,8;12\} \).
   Lösung
4. Sei \((G,\cdot , e) \) eine Gruppe, so dass jedes Element aus \(G\) eine Ordnung kleiner gleich 2 hat. Dann ist die Gruppe abelsch.
   Lösung

4. Übungsaufgaben

1. Man beweise die Formel für die Ordnung einer k-ten Potenz von s! (siehe Theorie!)
   Beweis
2. Man bestimme das Zentrum der Diedergruppe D_n !
   Lösung