1. Punktfolgen

1.4. Staatsexamensaufgaben

Frühjahr 2014 - Thema 3 - Aufgabe 2

Es sei \((f_n)_{n\in \mathbb{N} } \) die durch \(f_1=f_2=1\) und \(f_{n+1}=f_n+f_{n-1}\) für alle \(n \geq 2\) rekursiv definierte Fibonacci-Folge.

a) Beweisen Sie für alle \(n\in \mathbb{N}\): \( f_n\geq \frac{4}{9} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^n \).
b) Zeigen Sie, dass die durch  \(a_n=\prod\limits_{k=1}^n\frac{f_k}{f_{k+1}} \) für \(n\in \mathbb{N} \) definierte Folge gegen 0 konvergiert.
c) Zeigen Sie, dass die Reihe \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{f_k} \) konvergiert.
(Bemerkung: Teilaufgabe c) gehört thematisch erst ins nächste Kapitel.)
 

Lösung