Demokurs: Didaktik der Analysis

1. Stufe: Der Begriff als Phänomen

Auf dieser Stufe erwerben Lernende ein intuitives Begriffsverständnis. Ihnen sind Begriffe wie Durchschnitt, durchschnittliche und mittlere Änderungsrate, Steigung (von Geraden) sowie Steigen und Fallen von Graphen bekannt und sie können diese anhand von Beispielen aufzeigen und erklären.

2. Stufe: Der Begriff als Träger von Eigenschaften

Auf dieser Stufe erwerben Lernende ein inhaltliches Begriffsverständnis. Ihnen der Begriff der absoluten Änderung bekannt. Sie haben Einsicht in den Grenzwertprozess beim Übergang von Differenzen- zu Differentialquotient und können diesen anhand von Sekanten(steigungen) und Tangenten(steigungen) geometrisch deuten. Ihnen ist bewusst, dass die Ableitungsfunktion ihrerseits ebenfalls abgeleitet werden kann, was zum Begriff der höheren Ableitungen führt. Des Weiteren beherrschen sie die grundlegenden Ableitungsregeln.

3. Stufe: Der Begriff als Teil eines Begriffsnetzes

Auf dieser Stufe erwerben Lernende ein integriertes Begriffsverständnis. Ihnen sind Beziehungen zwischen den Eigenschaften einer Funktion und denen ihrer Ableitungen bewusst; So sind ihnen bspw. Beziehungen zwischen der Ableitung einer Funktion und dem Monotonieverhalten ihres Graphen bewusst und sie können dieses Wissen zur Berechnung von Extremwerten nutzen. Sie können diese Methodik im Folgenden auf die Berechnung von Wendepunkten übertragen. Weiterhin können sie zwischen lokaler und globaler Differenzierbarkeit unterscheiden.

Sie können den Ableitungsbegriff zu außermathematischen Situationen in Beziehung setzen.

4. Stufe: Der Begriff als Objekt zum Operieren

Auf dieser Stufe erwerben Lernende ein formales Begriffsverständnis. Sie können formal korrekte Definitionen wiedergeben und diese zum Führen von Beweisen nutzen. Sie beherrschen die Berechnung der Ableitung – auch bei Exponential-, Logarithmus- und trigonometrischen Funktionen. Sie verfügen über eine globale Sichtweise auf den Ableitungsbegriff und die Ableitungsfunktion und ihren Graphen als eigenständige Objekte, mit denen sie operieren.

5. Stufe: „kritisch“

Auf dieser Stufe erwerben Lernende ein kritisches Begriffsverständnis. Sie können den hinter dem Ableitungsbegriff stehenden Konstruktionsprozess beschreiben und erklären. Sie können über damit verbundene Schwierigkeiten reflektieren und ihr Wissen zur Verbesserung des eigenen Lernprozesses nutzen.