1. Ableitung

1.4. Definition der Ableitung mittels Linearer Approximation

Definition der Ableitung mittels Linearer Approximation

Diese Definition spielt im Unterricht eine eher untergeordnete Rolle und wird hier nur ergänzend vorgestellt.

f sei eine in einer offenen Umgebung von x0∈R definierte reellwertige Funktion.

f heißt differenzierbar an der Stelle x0, wenn eine Zahl  existiert, sodass gilt:

f(x)=f(x0)+m⋅(x−x0)+r(x−x0),

wobei für die Restfunktion r gilt:

limx→x0r(x−x0)x−x0=0

m wird dann Ableitung von f an der Stelle x0 genannt;  f′(x0)=:m.

Zur Vermeidung des Quotienten im Grenzwert lässt sich stattdessen auch definieren:

f(x)=f(x0)+m⋅(x−x0)+(x−x0)⋅R(x−x0),

wobei

limx→x0R(x−x0)=0

Bedeutung der Definition:

Für lineare Funktionen lässt sich jeder Funktionswert f(x) aus dem Funktionswert an einer festen Stelle x0 berechnen, indem die Differenz x−x0 mit der Steigung m∈R multipliziert wird:

f(x)=f(x0)+(x−x0)⋅m.

Bei nichtlinearen Funktionen muss die Steigung in Abhängigkeit von der Stelle modifiziert werden, doch lokal passt die Approximation gut, sofern die Modifikation R(x−x0) lokal klein ist und im Grenzwert verschwindet, d.h.: 

f(x)=f(x0)+(x−x0)⋅(m+R(x−x0)) mit limx→x0R(x−x0)=0.

Differenzieren mittels linearer Approximation