Demokurs: Didaktik der Algebra
1. Funktionen I
1.2. Aspekte des funktionalen Denkens
Die Unterrichtsreform zu Beginn des 20. Jahrhunderts erhielt mit dem etwas schillernden Begriff des funktionalen Denkens ein Schlagwort, das bis in unsere Zeit hineinwirkt. Es erstreckte sich auf alle Themenbereiche des Mathematikunterrichts, wirkte allerdings auch etwas verschwommen.
Eine Klärung versuchte VOLLRATH 1989:
Er versteht unter funktionalem Denken einen bestimmten gedanklichen Umgang mit Funktionen.
Dabei sind ihm drei grundlegende Sachverhalte wesentlich:
1. Der Zuordnungscharakter
Durch Funktionen beschreibt oder stiftet man Zusammenhänge zwischen Größen: Einer Größe ist dann eine andere zugeordnet, so dass die eine Größe als abhängig von der anderen gesehen wird.
2. Das Änderungsverhalten
Durch Funktionen erfasst man, wie sich Änderungen einer Größe auf die abhängige Größe auswirken.
3. Die Sicht als Ganzes
Mit Funktionen betrachtet man einen gegebenen oder gestifteten Zusammenhang als Ganzes.
Bei der Untersuchung funktionaler Zusammenhänge ist die Verbindung von Algebra und Geometrie sehr gewinnbringend. Folgende Aufgabe zeigt ein entsprechendes Beispiel. Die Fragen und Antworten zu Zusammenhängen lassen sich den Aspekten des funktionalen Denkens zuordnen.
Aufgabe Dreieck im Dreieck
Gegeben sei Dreieck ∆ABC mit den Eckenpunkten A(0,0), B(5,0) und C(3,5). In diesem Dreieck ist ein kleines Dreieck ∆DGF einbeschrieben, dessen einer Eckpunkt D auf der Strecke [A,B] liegt. Die Parallele zur x- Achse mit der Funktionsgleichung \( h(x) = a \) für \( 0\le a\le 5 \) schneidet die Gerade f durch A und C im Punkt F und die Gerade g durch B und C im Punkt G.
- Änderungsaspekt: Wie ändert sich der Flächeninhalt A des kleinen Dreiecks bei Variation von a?
- Zuordnungsaspekt: In welchem Verhältnis steht der maximale Flächeninhalt des kleinen Dreiecks zum Flächeninhalt des großen Dreiecks?
- Objektaspekt: Durch welche Funktionsart lässt sich der Zusammenhang zwischen a und dem Flächeninhalt des kleinen Dreiecks beschreiben? Stellen Sie die Funktionsgleichung auf.
