Aufgaben zum 2. Kapitel "Funktionen" Aufgabe 1: Parabeln I Die Graphen der Funktionen
\(f\),
\(g\) mit
\(f(x) = ax^2+ bx + c\) und
\(g(x) = d(x-e)^2+ h\) sollen dieselbe Parabel darstellen. Welche Beziehung besteht zwischen den Variablen
\(a\),
\(b\),
\(c\),
\(d\),
\(e\) und
\(h\)?
Aufgabe 2: Parabeln II Wir betrachten die Parabeln
\(P_b\) mit der Gleichung
\(f(x) = 2x^2+ bx + 1\),
\(b \in \mathbb{R}\).
- Bestimmen Sie den Scheitelpunkt \(S_b\) der Parabeln \(P_b\) (also in Abhängigkeit von \(b\)).
- Zeichnen Sie – etwa mit Hilfe des Programms GeoGebra (kostenlos downloadbar unter http://www.geogebra.at) – die Ortslinie \(OS_b\), auf der sich der Scheitelpunkt von \(P_b\) bewegt, wenn \(b\) variiert wird. In die Lösung der Aufgabe soll ein Screenshot dieser Aufgabe eingebunden werden.
- Bestimmen Sie die Gleichung für die Ortslinie \(OS\).
Aufgabe 3: Exponentialfunktion
- Vergleichen Sie die beiden Funktionen mit \(y = a \cdot 2^x\) und \(y = 2^{(x+d)}\) für verschiedene Werte \(a,d \in \mathbb{R}\). Für welche \(a\) bzw. \(d\)-Werte stimmen die Graphen der beiden Funktionen überein?
- Die allgemeine Exponentialfunktion lässt sich mit der Gleichung \(f(x) = a \cdot b^{cx+d}\) mit \(a,c,d \in \mathbb{R}; b \in \mathbb{R}^+\) beschreiben. Diese Gleichung ist äquivalent zu einer Gleichung mit nur drei Parametern \(A,B,C\), wobei \(A,B,C \in \mathbb{R}\) bzw. \(\mathbb{R}^+\). Geben Sie den Zusammenhang zwischen \(A,B\) und \(C\) sowie \(a,b,c\) und \(d\) an!
Aufgabe 4: Spirale Zeichnen Sie die Kurve
\(K(t) = (t \cdot \cos(t), t \cdot \sin(t))\) für
\(0 < t < 20\). Die Kurve lässt sich aus einer Bewegung entstanden denken und dynamisch interpretieren, indem
\(t\) als Zeit verstanden wird. Man nennt diese Kurve
Spirale.
- Beschreiben Sie diese Bewegung!
- Geben Sie die Gleichung abgebildeten Spirale an!
