Die beiden Formeln für die Zunahme des Kapitals sind eigentlich nur für volle Jahre \((n \in \mathbb{N})\) anwendbar, da die Bank jährlich verzinst. Der Graph für das Kapital nach \(n\) Jahren ist deshalb ein diskreter Graph.
Näherungsweise kann man aber auch mit einem Exponenten \(x \in \mathbb{R}\) arbeiten, um das Kapital zu beliebigen Zeitpunkten (z.B. \(x = 1, 75\) Jahre) zu berechnen. Der Graph für das Kapital nach einer beliebigen Zeitspanne \(x\) besteht in diesem Fall aus einer stetigen Kurve. (Diese kontinuierliche Entwicklung kann in den Applets über das Kontrollkästchen ein- bzw. ausgeschaltet werden.)
Das Anwachsen eines Kapitals nach der Funktionsgleichung \(K(x) = K_0 \cdot (1 +\frac{p}{100})^x\) nennt man exponentielles Wachstum. Dieses Wachstum wird durch die Funktionsgleichung eines neuen Funktionstyp beschrieben. Bei dieser Art von Funktion steht die unabhängige Variable \(x\) im Exponenten und wird deshalb Exponentialfunktion genannt.
Die allgemeine Exponentialfunktion
Demokurs: Grundlagen der anwendungsbezogenen Hochschulmathematik
Conditions d’achèvement
1. Funktionen
1.3. Exponentialfunktion und Wachstum
Exponential- und Wachstumsfunktionen
In diesem Kapitel lernen wir eine besonders wichtige Funktion kennen - die Exponentialfunktion. Danach werden wir das Wachstum beliebiger Funktionen an Hand des Wachstums bereits bekannter Funktionen kategorisieren.
Einführendes Beispiel: Lineares und exponentielles Wachstum
In diesem Kapitel lernen wir eine besonders wichtige Funktion kennen - die Exponentialfunktion. Danach werden wir das Wachstum beliebiger Funktionen an Hand des Wachstums bereits bekannter Funktionen kategorisieren.
Einführendes Beispiel: Lineares und exponentielles Wachstum
Beispiel 1:
Kapitalentwicklung bei einfacher Verzinsung
Bei einer einfachen Verzinsung werden in jedem Jahr nur die einfachen Zinsen in der Höhe von \(K_0 \cdot \frac{p}{100}\) zum Anfangskapital \(K_0\) hinzugerechenet. Die Zinsen der weiteren Jahre werden immer nur vom Anfangskapital \(K_0\) berechnet. Es wird also davon ausgegangen, dass die jährlichen Zinsen an den Anleger ausbezahlt werden. Es ergibt sich für das Kapital nach \(n\) Jahren
\(K(n) = K_0 + K_0 \cdot \frac{p}{100} \cdot n\)
Kapitalentwicklung mit Zinseszins
Bei einer Verzinsung mit Zinseszinsen werden jedes Jahr die Zinsen der vorangegangenen Jahre wiederum verzinst, d.h. das Anfangskapital \(K_0\) wird im jedem Jahr mit \((1 + \frac{p}{100})\) multipliziert. Es ergibt sich für das Kapital nach \(n\) Jahren
\(K(n) = K_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})^n\)
Kapitalentwicklung bei einfacher Verzinsung
Bei einer einfachen Verzinsung werden in jedem Jahr nur die einfachen Zinsen in der Höhe von \(K_0 \cdot \frac{p}{100}\) zum Anfangskapital \(K_0\) hinzugerechenet. Die Zinsen der weiteren Jahre werden immer nur vom Anfangskapital \(K_0\) berechnet. Es wird also davon ausgegangen, dass die jährlichen Zinsen an den Anleger ausbezahlt werden. Es ergibt sich für das Kapital nach \(n\) Jahren
\(K(n) = K_0 + K_0 \cdot \frac{p}{100} \cdot n\)
Kapitalentwicklung mit Zinseszins
Bei einer Verzinsung mit Zinseszinsen werden jedes Jahr die Zinsen der vorangegangenen Jahre wiederum verzinst, d.h. das Anfangskapital \(K_0\) wird im jedem Jahr mit \((1 + \frac{p}{100})\) multipliziert. Es ergibt sich für das Kapital nach \(n\) Jahren
\(K(n) = K_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})^n\)
Aufgabe:
Erläutern Sie das Zustandekommen dieser Formel.
Erläutern Sie das Zustandekommen dieser Formel.
Definition 1 (Exponentialfunktion zur Basis a)
Die Funktion
\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \, f(x) = a^x = \exp (x \cdot \log(a))\,\) für \(a \in \mathbb{R}^+\)
heißt Exponentialfunktion zur Basis \(a\).
Die Funktion
\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \, f(x) = a^x = \exp (x \cdot \log(a))\,\) für \(a \in \mathbb{R}^+\)
heißt Exponentialfunktion zur Basis \(a\).
\(a>0\) wird hier echt positiv gewählt, da für \(a<0\) bspw. Ausdrücke der Form \(a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}\) in \(\mathbb{R}\) nicht lösbar sind.
Für \(a=0\) hingegen sind bspw. Ausdrücke der Form \(a^{-1}=\frac{1}{a}\) nicht definiert.
Satz 1 (Funktionalgleichung)
Für alle \(x,y \in \mathbb{R}\) gilt:
\(a^{(x+y)} = a^x \cdot a^y\)
Für alle \(x,y \in \mathbb{R}\) gilt:
\(a^{(x+y)} = a^x \cdot a^y\)
Eigenschaften der allgemeinen Exponentialfunktion \(x \rightarrow a^x\)
- Die Exponentialfunktion ist für alle \(x \in \mathbb{R}\) definiert.
- Sie nimmt nur positive Funktionswerte an.
- Die Graphen aller Exponentialfunktionen der Form \(f(x) = a^x\) gehen durch den Punkt \((0|1)\).
- Für \(0 < a < 1\) ist \(f(x)\) monoton fallend, für \(a = 1\) konstant und für \(a > 1\) monoton steigend.
- Die Graphen von \(f(x) = a^x\) und \(g(x) = a^{-x}=\frac{1}{a^x}\) liegen symmetrisch bezüglich der y-Achse. Für beide Graphen ist die x-Achse horizontale Asymptote.
- Für \(0 < a < 1\) ist \(f(x) = a^x\) monoton fallend, \(f\) divergiert für \(x \rightarrow -\infty\) und konvergiert gegen \(0\) für \(x \rightarrow \infty\)
- Für \(a=1\) ist \(f\) konstant
- Für \(a > 1\) ist \(f(x) = a^x\) monoton steigend, \(f\) divergiert für \(x \rightarrow \infty\) und konvergiert gegen \(0\) für \(x \rightarrow -\infty\)
Es gilt: \(a^0=1\) für alle \(a\)
Es gilt: \(1^x=1\) für alle \(x\)
\(f(-x) = a^{-x} = g(x)\)
\(f(x) = a^{x} = a^{-(-x)} = g(-x)\)
Aufgabe: Bearbeiten Sie folgende Aufträge im untenstehenden Applet.
- (Diskussion von \(x \rightarrow a^x\)) Stellen Sie zunächst für \(m\) und \(b\) den Wert \(1\), für \(c\) und \(d\) den Wert \(0\) ein und ändern Sie mit Hilfe des Schiebereglers den Wert der Basis \(a\) und beschreiben Sie den Verlauf des Schaubildes für verschiedene Werte von \(a\). Verifizieren Sie die oben genannten Eigenschaften der Funktion \(x \rightarrow a^x\).
- Warum existiert die Funktion \(f(x)\) nicht für negative \(a\)?
- (Diskussion von \(x \rightarrow m \cdot a^x\)) Lassen Sie wiederum \(a\) fest (nicht \(0\)) und veränderen Sie nur \(m\). Beschreiben Sie die Auswirkungen auf das Schaubild und finden Sie eine bestimmte Eigenschaft für bestimmte Wertepaare von \(m\) heraus.
- (Diskussion von \(x \rightarrow a^{b \cdot x}\)) Lassen Sie nun \(a\) fest (nicht \(0\)) und verändern Sie nur \(b\). Beschreiben Sie die Auswirkungen auf das Schaubild und finden Sie eine bestimmte Eigenschaft für bestimmte Wertepaare von \(b\) heraus.
- (Diskussion von \(x \rightarrow a^x+ c\)) Stellen Sie für \(m\) und \(b\) wieder den Wert \(1\) und für \(d\) den Wert \(0\) ein und ändern Sie mit Hilfe des Schiebereglers den Wert von \(c\). Beschreiben Sie die Auswirkungen auf das Schaubild.
- (Diskussion von \(x \rightarrow a^{x+d}\)) Stellen Sie für \(m\) und \(b\) wieder den Wert \(1\) und für \(c\) den Wert \(0\) ein und ändern Sie mit Hilfe des Schiebereglers den Wert von \(d\). Beschreiben Sie die Auswirkungen auf das Schaubild.
Nebenbemerkung (freiwillig):
Beispiel 2 (Die Exponentialfunktion wächst schneller als jede Potenz von x):
Für beliebiges \(m \in \mathbb{N}\) gilt \(x^m < o(\exp(x))\), denn für \(x > 0\) ist
\(\exp(x) = \sum_{n=0}^\infty {\frac{x^n}{n!}} > \frac{x^{m+1}}{(m+1)!}\)
und damit
\( 0 \ge \lim_{x \to \infty} \frac{x^m}{\exp(x)} \ge \lim_{x \to \infty} \frac{x^m}{\frac{x^{m+1}}{(m+1)!}} = 0\)
Beispiel 2 (Die Exponentialfunktion wächst schneller als jede Potenz von x):
Für beliebiges \(m \in \mathbb{N}\) gilt \(x^m < o(\exp(x))\), denn für \(x > 0\) ist
\(\exp(x) = \sum_{n=0}^\infty {\frac{x^n}{n!}} > \frac{x^{m+1}}{(m+1)!}\)
und damit
\( 0 \ge \lim_{x \to \infty} \frac{x^m}{\exp(x)} \ge \lim_{x \to \infty} \frac{x^m}{\frac{x^{m+1}}{(m+1)!}} = 0\)
Der Logarithmus - die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion
Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist der Logarithmus \(\log_a(x) : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}\). Er ist stetig und streng monoton wachsend.
Die Logarithmus-Funktion ergibt sich als Umkehrfunktion durch Umformen der Exponentialfunktion:
\(y=f(x)=a^x\)
Dann ist:
\(x=f^{-1}(y)=log_a(y)\)
Um die Funktion im gewohnten Koordinatensystem darzustellen, wird sie allerdings ebenfalls in der Form \(x \rightarrow f^{-1}(x)\) verwendet.
Aufgabe: Bearbeiten Sie folgende Aufträge im untenstehenden Applet.
- Ändern Sie mit Hilfe des Schiebereglers den Wert von \(a\) und beschreiben Sie den Verlauf des Schaubildes für verschiedene Werte von \(a\). Was haben alle Funktionen gemeinsam? Welche Unterschiede für welche \(a\) gibt es?
- Was fällt Ihnen im Vergleich von Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion auf? Beschreiben Sie die Lage beider Schaubilder zueinander.
Satz 2 (Funktionalgleichung)
Für alle \(x, y \in \mathbb{R}^+\) gilt:
\(\log_a(x \cdot y) = \log_a(x) + \log_a(y)\)
Für alle \(x, y \in \mathbb{R}^+\) gilt:
\(\log_a(x \cdot y) = \log_a(x) + \log_a(y)\)