Staatsexamenskurs Algebra

Herbst 2011 - Thema 2 - Aufgabe 2

Sei \(G\) eine endliche Gruppe und sei \(n\geq 1\) mit \(ggT(n,ord(G))=1 \). Zeigen Sie, dass es zu jedem Element \(a\in G\) ein eindeutig bestimmtes Element \(b\in G\) gibt mit \(b^n=a\).

Lösung

Frühjahr 2013 - Thema 2 - Aufgabe 2

Sei \(q>1\) eine Potenz einer Primzahl \(p\) und  sei \(\mathbb{F}_q\) ein Körper mit \(q\) Elementen. Sei \(n\) eine natürliche Zahl und sei \(G=GL_n(\mathbb{F}_q)\) die Gruppe der invertierbaren \(n\times n\) -Matrizen über \(\mathbb{F}_q\).

a) Zeigen Sie, dass die Gruppe \(G\) von Ordnung \( q^{\left(\begin{array}{c}n\\2 \end{array}\right)}\cdot (q^n-1)\cdot (q^{n-1}-1)\cdots (q-1) \) ist.

b) Zeigen Sie, dass die oberen Dreiecksmatrizen mit charakteristischem Polynom \( (X-1)^n\) eine Sylowsche p-Untergruppe von \(G\) bilden.

Lösung

Herbst 2013 - Thema 3 - Aufgabe 3

a) Eine Permutation \(\sigma \) sei das Produkt zweier disjunkter Zykel der teilerfremden Längen k und l. Welche Ordnung hat \(\sigma \)?

b) Sei \( a(n)\) die größte Elementordnung in der symmetrischen Gruppe \(S_n\). Man zeige \(\frac{a(n)}{n} \rightarrow \infty \)

Lösung