Staatsexamenskurs Lineare Algebra

Herbst 2011 - Thema 3 - Aufgabe 4

a) Bestimmen Sie alle $t\in \mathbb{R}$, für welche die Determinante der Matrix
$A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & t & t^2\\ t & 2 & t\\ 1 & t  & 3\end{array}\right)$
ungleich 0 ist.
b) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von $t\in \mathbb{R}$ alle Lösungen des inhomogenen Linearen Gleichungssystems
$A\cdot \left(\begin{array}{c} x\\y\\z\end{array}\right)= \left( \begin{array}{c} 1\\2\\1 \end{array}\right)$.
Lösung

Herbst 2012 - Thema 3 - Aufgabe 4

Gegeben sei das Lineare Gleichungssystem $(G_t)$ über $\mathbb{R}$:
$\begin{array}{ccc} -x+3z & = & 3\\ -2x-ty+z & = & 2\\ x+y+tz & = & 1\end{array}$
a) Für welche $t\in \mathbb{R}$ ist $(G_t)$ eindeutig lösbar?
b) Für welche $t\in \mathbb{R}$ hat $(G_t)$ keine Lösungen?
c) Für welche $t\in \mathbb{R}$ hat $(G_t)$ mehrere Lösungen?
d) Geben Sie in den Fällen der Lösbarkeit die Lösungsmenge von $(G_t)$ an.
Lösung

Herbst 2019 - Thema 2 - Aufgabe 1

Für $a\in \mathbb{R}$ sei die reelle Matrix
$M_a = \left(\begin{array}{cccc} a & 0 & 1 & 0\\ 0 & a & 0 & 1\\ 1 & 0 & a & 0\\ 0 & 1 & 0 & a\end{array}\right)\in \mathbb{R}^{4 \times 4}$ gegeben.
a) Zeigen Sie, dass die Determinante von $M_a$ den Wert $\det M_a= a^4-2a^2+1$ hat.
b) Sei $b=(1;1;1;1)^{\top}\in \mathbb{R}^4$. Bestimmen Sie alle $a\in \mathbb{R}$, für welche die Lösungsmenge $\mathbb{L}_a=\{ x\in \mathbb{R}^4: M_ax=b\}$ mehr als ein Element hat. Geben Sie in diesem Fall/ diesen Fällen die Lösungsmenge konkret an.
Lösung