Demokurs: Grundlagen der Mathematik für die Grundschule (Arithmetik und Größenbereiche)

• Das Prinzip der grundlegenden Bündelung:
  
  Das Bündelungsprinzip besagt, dass die Elemente einer vorgegebenen Menge zu gleichmächtigen Teilmengen gruppiert werden. Die Mächtigkeit der Teilmengen wird durch die Wahl des Stellenwertsystems bestimmt. So werden im dezimalen Stellenwertsystem immer 10 Elemente und im Dualsystem (Binärsystem) immer 2 Elemente in einer Teilmenge zusammengefasst. Dabei gibt die Basis an, in welchen Teilmengen gebündelt werden soll. Teilmengen erster Ordnung müssen nach dem Bündelungsprinzip weiter zusammengefasst werden. Dieser Vorgang wird so lange weitergeführt, bis keine Bündel nächsthöherer Ordnung mehr gebildet werden können. Die Ziffern geben uns die Anzahl der Bündel an.



• Das Stellenwertprinzip:
  
  Notiert man das Ergebnis des oben beschriebenen Bündelungsprozesses, so erhält man eine bestimmte Ziffernfolge (Ziffern der niedrigsten Bündelungsstufe stehen rechts). Die Position der Ziffern übermittelt damit nicht nur die Anzahl der Bündel, sondern auch die Art des Bündels (Bündel n-ter Ordnung), den sog. Stellenwert. So hat die Ziffer 3 in den Zahlen 3, 134, 4357 zwar den gleichen Zahlenwert aber unterschiedlichen Stellenwert. Nicht besetzte Stellen werden mit einer Null gekennzeichnet. Das Stellenwertprinzip ermöglicht es, auf die Angabe von Bündelungseinheiten zu verzichten (statt 1T8H 7Z5E =1875)

Jede Zahl n lässt sich zu jeder Basis b eindeutig folgendermaßen darstellen (b-adische Zahldarstellung).

Sei $\normalsize~z_{0},z_{1},...z_{k}\in \left\{0,1,...b-1\right\}$ mit $\normalsize~k\in \mathbb N _{0}$ und $\normalsize~z_{k}\neq 0$, dann ist

$\normalsize~n=z_{k}\cdot b^{k}+z_{k-1}\cdot b^{k-1}+z_{k-2}\cdot b^{k-2}+...+z_{1}\cdot b^{1}+z_{0}\cdot b^{0}$

Ist die gewählte Basis b kleiner als 10 ($\normalsize~b$), dann genügen die uns bekannten Ziffern $\normalsize~0,1,2,...,9$. Ist $\normalsize~b>0$, dann muss man neue ‘Ziffern’ bzw. Symbole einführen. nimmt man beispielsweise im 16er-System, welches häufig in der Informatik verwendet wird, die Buchstaben A, B, C, D, E und F für die 10, 11, 12, 13, 14 und 15 her.

Die $\small~b^k$ in der b-adischen Zahldarstellung nennt man auch Stufenzahlen.



Das dekadische Stellenwertsystem bzw. das Dezimalsystem verwendet eine Zehnerbündelung, entspricht also einem Stellenwertsystem zur Basis 10. Dabei werden 10 Ziffern zur Darstellung benötigt ($\normalsize~0,1,2,...9$), wobei unbesetzte Stellen durch eine Null kenntlich gemacht werden.

Dass wir heute das dezimale Stellenwertsystem (häufig unbewusst) benutzen, hat historische Gründe und ist sicherlich darauf zurückzuführen, dass die Menschen 10 Finger besitzen. Allerdings wäre auch ein Zwölfersystem denkbar, da erstens Zeiteinheiten in Vielfachen von 12 angeben werden und zweitens die 12 viele Teiler besitzt (vgl. APPELL/ APPELL, 2005, S.107f.).

Historisch gesehen haben schon die Ägypter Zahlen aufbauend auf der 10 dargestellt. Durch Aneinanderreihen von Hieroglyphen konnten natürliche Zahlen geschrieben werden. In Babylonien hatte man dagegen bereits ein 60er-Stellenwerstsystem, welches sich noch heute in der Einteilung der Zeit und der Winkel wiederfindet (vgl. SCHEID/ SCHWARZ, 2008, S.47f.).

Während des Dreißigjährigen Krieges wollten beispielsweise die Schweden anstelle des Dezimalsystems das Zwölfersystem einführen (vgl. APPELL/ APPELL, 2005, S.107f.).

1. Wahr oder falsch?
   (Siehe Interaktion auf der rechten Seite)
   
   
2. Nennen Sie 5 wesentliche Eigenschaften eines Stellenwertsystems!
   Lösungshinweis
   
   
3. Vierstellige Zahlen der Form abba (mit $\normalsize~a,b\in \mathbb N$) heißen ANNA- bzw. OTTO-Zahlen.
   
   
   1. Bilden Sie zu einer ANNA-Zahl die "andere" ANNA-Zahl mit gleichen Ziffern und subtrahieren Sie die kleinere von der größeren. Rechnen sie mehrere dieser Aufgaben und vergleichen Sie Ihre Ergebnisse. Was fällt Ihnen auf?
      Lösungshinweis
      
      
   2. Begründen Sie ihre Entdeckung beispielgebunden an einer Stellenwerttafel, indem Sie die kleinere Zahl mit Plättchen legen und durch Verschieben der Plättchen die größere ANNA- Zahl entstehen lassen.
      Lösungshinweis