Demokurs: Approach to the Basics of Calculus - DEUTSCH: Folgen-Grundlagen

Folgen-Grundlagen

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Dieser Abschnitt behandelt wichtigste Definitionen zum Begriff der Folge. Dabei wird der Begriff zunächst allgemein gefasst, dann aber auf reelle Zahlenfolgen eingeschränkt.

Definition 1 (Folge). M sei eine nichtleere Menge. Eine Folge ist eine Abbildung

f : ℕ → M.

Gelegentlich spricht man auch von einer Folge in M.

Bemerkung: Eigenschaften der Urbildmenge ℕ bestimmen Eigenschaften von Folgen. Da es in ℕ eine – durch die Größer-Kleiner-Relation – festgelegte Abfolge der Elemente gibt, haben auch die Elemente einer Folge eine feste Reihenfolge.

Definition 2 (Folgenglied und Index): Für eine Folge schreibt man (a₁, a₂, a₃, …) oder kürzer (a_n)_n statt f(n). Die Zahlen a₁,a₂,a₃,… ∈ M heißen die Glieder der Folge oder Folgenglieder. Wegen der Zuordnung

f : ℕ → M n ↦→ a n

kann jedem Folgenglied eindeutig eine Zahl n ∈ ℕ zugeordnet werden. Man schreibt diese Zahl tiefer gestellt rechts und bezeichnet sie als Index; jedes Folgenglied ist also durch einen Index identifizierbar.


n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	…

	↓	↓	↓	↓	↓	↓	↓	↓	↓

a_n	a₁	a₂	a₃	a₄	a₅	a₆	a₇	a₈	a₉	…

Einige einfache Beispiele

Zufallsfolge von Farbquadraten. Es wird jeweils nur ein Folgenglied angezeigt.

Beispiel: Folge der natürlichen Zahlen
Die durch a_n := n, n ∈ ℕ definierte Folge (a_n)_n heißt die Folge der natürlichen Zahlen. Ihre ersten Glieder sind

a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3,...

Bei dieser speziellen Folge ist jedes Folgenglied gleich seinem Index.

Beispiel: Folge der Dreieckszahlen
Dreieckszahlen haben ihren Namen von folgender geometrischer Veranschaulichung: Man legt runde Scheiben, beispielsweise Münzen wie folgt aneinander:

Zu der Münze aus dem 1. Schritt legt man im 2. Schritt zwei, im 3. Schritt drei weitere Münzen. Dieses Verfahren führt man fort.
Aus mathematischer Sicht ergibt sich dadurch eine Aufsummierung der (Folge der) natürlichen Zahlen. Will man also etwa die ersten zehn natürlichen Zahlen addieren, so kann man auch (alternativ) die zehnte Dreieckszahl D₁₀ bestimmen. Es gilt

D10 = 1 + 2 + 3 + ...+ 9 + 10

bzw. allgemein D_n = 1 + 2 + 3 + … + (n − 1) + n.

Das motiviert die folgende Definition

Schreibweise und Definition (Summenfolge):
Ist (a_n)_n,a_n : ℕ → M eine Folge mit Folgegliedern a_n, so schreibt man die Summe

∑n a1 + a2 + a3 + ...+ an− 1 + an =: ak. k=1

Das Zeichen ∑ heißt Summenzeichen, der Summenindex k läuft hier von 1 bis n.

Man nennt Folgen, deren Folgeglieder durch Summation vorangegangender Folgeglieder entstehen, auch Summenfolgen.

Die n-te Dreieckszahl lässt sich damit also auch wie folgt notieren:

∑n D = k n k=1

Beispiel: Folge der Quadratzahlen
Auch bei der Folge (q_n)_n der Quadratzahlen, definiert durch q_n = n², können die Folgenglieder durch Münzenlegen veranschaulicht werden.

Interessant: Die Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen ist eine Quadratzahl. So ist etwa 3 + 1 = 4 und 6 + 3 = 9. Allgemein gilt der Zusammenhang

qn = Dn + Dn −1

Beispiel: Folge der Kubikzahlen
Analog zur Folge der Quadratzahlen läßt sich auch die Folge der Kubikzahlen definieren; dabei ist

3 an := n .

Die ersten Glieder der Folge sind (1, 8, 27, 64, 125,…).

Wählt man in Definition 1 die Menge M = ℝ, so erhält man:

Definition 2 (Zahlenfolge) Eine reelle Zahlenfolge ist eine Abbildung

f : ℕ → ℝ.

Wenn wir in diesem Teil des Kurses von einer Folge sprechen, so ist i. A. stets eine reelle Zahlenfolge gemeint.

Beachte: wir betrachten in diesem Kurs nur Folgen in ℕ, ℚ und ℝ.

Streicht man aus einer Folge beliebig viele Folgeglieder heraus, behält die Reihenfolge aber bei, so erhält man eine sogenannte Teilfolge. Mathematisch definiert lautet dies so: