Demokurs: Approach to the Basics of Calculus - DEUTSCH

Modul I: Folgen & Grenzwerte

• Folgen - Grundlagen
• rekursive Folgen
• einige wichtige Folgen
• Divergenz, Konvergenz, Grenzwert
• Eigenschaften von Differenzenfolgen
• Aufgaben

Modul II: Funktionen

• Lineare und quadratische Funktionen
• Potenzfunktionen, Polynome und Potenzreihen
• Exponentialfunktion und Wachstum
• Trigonometrische Funktionen
• Funktionen mehrerer Veränderlicher
• Kurven und Abbildungen

Modul III: Eigenschaften von Funktionen

• Grenzwert einer Funktion
• Grenzwerte und Stetigkeit
• Eigenschaften stetiger Funktionen
• Aufgaben

Modul IV: Differentiation

• Ableitung
• Eigenschaften der Ableitung
• Ableitung der trigonometrischen Funktionen
• Die Kettenregel
• Exponentialfuntkion und Logarithmus
• Extremwertprobleme
• Aufgaben

Dieser Abschnitt behandelt wichtigste Definitionen zum Begriff der Folge. Dabei wird der Begriff zunächst allgemein gefasst, dann aber auf reelle Zahlenfolgen eingeschränkt.

Definition 1 (Folge). M sei eine nichtleere Menge. Eine Folge ist eine Abbildung

Gelegentlich spricht man auch von einer Folge in M.

Bemerkung: Eigenschaften der Urbildmenge ℕ bestimmen Eigenschaften von Folgen. Da es in ℕ eine – durch die Größer-Kleiner-Relation – festgelegte Abfolge der Elemente gibt, haben auch die Elemente einer Folge eine feste Reihenfolge.

Definition 2 (Folgenglied und Index): Für eine Folge schreibt man (a₁, a₂, a₃, …) oder kürzer (a_n)_n statt f(n). Die Zahlen a₁,a₂,a₃,… ∈ M heißen die Glieder der Folge oder Folgenglieder. Wegen der Zuordnung

kann jedem Folgenglied eindeutig eine Zahl n ∈ ℕ zugeordnet werden. Man schreibt diese Zahl tiefer gestellt rechts und bezeichnet sie als Index; jedes Folgenglied ist also durch einen Index identifizierbar.

Einige einfache Beispiele

Beispiel: Folge der natürlichen Zahlen
Die durch a_n := n, n ∈ ℕ definierte Folge (a_n)_n heißt die Folge der natürlichen Zahlen. Ihre ersten Glieder sind

Bei dieser speziellen Folge ist jedes Folgenglied gleich seinem Index.

Beispiel: Folge der Dreieckszahlen
Dreieckszahlen haben ihren Namen von folgender geometrischer Veranschaulichung: Man legt runde Scheiben, beispielsweise Münzen wie folgt aneinander:

Zu der Münze aus dem 1. Schritt legt man im 2. Schritt zwei, im 3. Schritt drei weitere Münzen. Dieses Verfahren führt man fort.
Aus mathematischer Sicht ergibt sich dadurch eine Aufsummierung der (Folge der) natürlichen Zahlen. Will man also etwa die ersten zehn natürlichen Zahlen addieren, so kann man auch (alternativ) die zehnte Dreieckszahl D₁₀ bestimmen. Es gilt

bzw. allgemein D_n = 1 + 2 + 3 + … + (n − 1) + n.

Das motiviert die folgende Definition

Schreibweise und Definition (Summenfolge):
Ist (a_n)_n,a_n : ℕ → M eine Folge mit Folgegliedern a_n, so schreibt man die Summe

Das Zeichen ∑ heißt Summenzeichen, der Summenindex k läuft hier von 1 bis n.

Man nennt Folgen, deren Folgeglieder durch Summation vorangegangender Folgeglieder entstehen, auch Summenfolgen.

Die n-te Dreieckszahl lässt sich damit also auch wie folgt notieren:

Beispiel: Folge der Quadratzahlen
Auch bei der Folge (q_n)_n der Quadratzahlen, definiert durch q_n = n², können die Folgenglieder durch Münzenlegen veranschaulicht werden.

Interessant: Die Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen ist eine Quadratzahl. So ist etwa 3 + 1 = 4 und 6 + 3 = 9. Allgemein gilt der Zusammenhang

Beispiel: Folge der Kubikzahlen
Analog zur Folge der Quadratzahlen läßt sich auch die Folge der Kubikzahlen definieren; dabei ist

Die ersten Glieder der Folge sind (1, 8, 27, 64, 125,…).

Wählt man in Definition 1 die Menge M = ℝ, so erhält man:

Definition 2 (Zahlenfolge) Eine reelle Zahlenfolge ist eine Abbildung

Wenn wir in diesem Teil des Kurses von einer Folge sprechen, so ist i. A. stets eine reelle Zahlenfolge gemeint.

Beachte: wir betrachten in diesem Kurs nur Folgen in ℕ, ℚ und ℝ.

Streicht man aus einer Folge beliebig viele Folgeglieder heraus, behält die Reihenfolge aber bei, so erhält man eine sogenannte Teilfolge. Mathematisch definiert lautet dies so:

Beispiel: Es sei (q_n)_n mit q_n := n² die Folge der Quadratzahlen, also

Definition 5 (Differenzenfolge):
Gegeben ist die Folge (a_n)_n = a₁, a₂, a₃,…, a_n,…; dann heißt die 1. Differenzenfolge von (a_n)_n

Die 1. Differenzenfolge der 1. Differenzenfolge nennt man 2. Differenzenfolge. Analog definiert sich die n.-Differenzenfolge.

Beispiel: Es sei die Folge (a_n)_n mit a_n := gegeben, also

• Folge, Zahlenfolge, Teilfolge, Differenzenfolge;
• Folge der natürlichen Zahlen,
• Folge der Quadratzahlen,
• Folge der Dreickszahlen,
• Folge der Kubikzahlen;
  
  
  

Aufgabe: Stellen Sie die Folge der Quadratzahlen auf mindestens drei verschiedene Weisen dar.

Aufgabe: Es sei (π_n)_n die Folge der Nachkommastellen der Kreiszahl π. Ist die endliche Folge (1,4,1,5,9,2) eine Teilfolge von (π_n)_n? Begründung!