Grundlagen der anwendungsbezogenen Hochschulmathematik

Für Differentialgleichungen höherer Ordnung ist es meistens unmöglich analytische Lösungen zu finden. In diesem Abschnitt stellen wir ein paar Sonderfälle vor, für die analytische Lösungen gefunden werden können. Die meisten dieser Fälle sind lineare Differentialgleichungen. Unser Fokus liegt auf Differentialgleichungen zweiter Ordnung, da diese häufiger praktische Anwendung finden und es wahrscheinlicher ist analytische Lösungen zu finden im Vergleich zu Differentialgleichungen dritter oder höherer Ordnung.

Lösen einer gewöhnlichen homogenen Differentialgleichung

Für lineare Gleichungen zweiter Ordnung gibt es keine einfache Weise eine allgemeine Lösung zu finden. Wir beginnen zuerst mit der Untersuchung einer homogenen Gleichung

\( y’’ + p(x)y’ + q(x)y = 0,\)

wobei \(p\) und \(q\) stetige Funktionen in ihrem Definitionsbereich sind. Dann gilt, dass

1) die Gleichung linear unabhängige Lösungen \(y_1\) und \(y_2\), genannt Fundamental-Lösungen, besitzt. Grob gesagt bedeutet lineare Unabhängigkeit, dass das Verhältnis \(y_2(x)/y_1(x)\) nicht konstant ist, so dass die Lösungen im Grund voneinander verschieden sind.

2) die allgemeine Lösung durch ein beliebiges linear unabhängiges Lösungspaar der Form \(y(x) = C_1y_1(x) + C_2y_2(x) \), wobei \( C_1\) und \( C_2\) Konstanten sind, ausgedrückt werden kann.

3) wenn die Anfangswerte \(y(x_0) = a, y'(x_0) = b\) fix sind, dann ist die Lösung eindeutig.

Eine allgemeine Methode die Fundamentallösungen \(y_1(x)\) und \(y_2(x)\) explizit zu finden existiert nicht. Um die Lösung zu finden, ist ein typischer Ansatz eine gute Vermutung über die Form der Lösung abzugeben und die Details durch Einsetzen in die Gleichung zu überprüfen.

Die obigen Ergebnisse können auch auf homogene Gleichungen höherer Ordnung verallgemeinert werden, aber dann nimmt die Anzahl an benötigten Fundamentallösungen und Anfangswerten in Anbetracht der Ordnung der Gleichung zu.

Gleichungen mit konstanten Koeffizienten

Betrachten wir einen relativ simplen Sonderfall einer Gleichung zweiter Ordnung

\( y’’ + py’ + qy = 0.\)

Um die Gleichung zu lösen, nutzen wir folgende Schätzung \( y(x) = e^{\lambda x}\), wobei \( \lambda\) eine unbekannte Konstante ist. Einsetzen der Vermutung in die Gleichung liefert

\( \lambda^2 e^{\lambda x} + p\lambda e^{\lambda x} + qe^{\lambda x} = 0.\)

\( \lambda^2 + p\lambda + q = 0.\)

Die letzte Gleichung heißt charakteristische Gleichung der gewöhnlichen Differentialgleichung. Das Lösen der charakteristischen Gleichung erlaubt es uns die Lösungen für die eigentliche gewöhnliche Differentialgleichung zu finden. Die Wurzel der charakteristischen Gleichung kann in drei Fälle aufgeteilt werden:

1) Die charakteristische Gleichung hat zwei unterscheidbare Wurzelergebnisse. Dann hat die gewöhnliche Differentialgleichung die Lösungen \(y_1(x) = e^{\lambda_1x} \) und \(y_2(x) = e^{\lambda_2x}. \)

2) Die charakteristische Gleichung hat ein Wurzelergebnis. Dann hat die gewöhnliche Differentialgleichung die Lösungen \(y_1(x) = e^{\lambda x} \) und \(y_2(x) = xe^{\lambda x}. \)

3) Die Wurzel der charakteristischen Gleichung hat die Form \(\lambda = a \pm bi.\) Dann hat die gewöhnliche Differentialgleichung die Lösungen \(y_1(x) = e^{ax}\cos(bx) \) und \(y_2(x) = e^{ax}\sin(bx). \)

Der zweite Fall kann durch Einsetzen in die ursprüngliche gewöhnliche Differentialgleichung erhalten werden und der dritte Fall kann durch Anwendung der Euler Formel \( e^{ix}=\cos x+i\sin x\) erhalten werden. Mit kleinen Änderungen können diese Ergebnisse auch für Differentialgleichungen höherer Ordnung verallgemeinert werden.

Dadurch dass die charakteristische Gleichung die exakt gleichen Koeffizienten wie die ursprüngliche gewöhnliche Differentialgleichung besitzt, ist es nicht notwendig diese nochmals für konkrete Beispiel zu erörtern: schreib sie einfach hin, indem du die gewöhnliche Differentialgleichung anschaust!

Eulers Differentialgleichung

Ein weiterer häufiger Typ von Differentialgleichungen zweiter Ordnung ist Eulers Differentialgleichung

\( x^2y'' + axy' + by = 0,\)

wobei \(a\) und \(b\) Konstanten sind. Eine Gleichung dieser Form wird anhand der Schätzung \(y(x)= x^r\) gelöst. Einsetzen liefert:

\( r^2 + (a-1)r + b = 0.\)

Durch Wurzelziehen dieser Gleichung erhalten wir die Lösungen für die gewöhnliche Differentialgleichung auf folgende Art und Weise:

1) Wenn die Wurzel eindeutig und reell ist, dann \( y_1(x)= |x|^{r_1}\) und \( y_2(x)= |x|^{r_2}\).

2) Wenn die Gleichung nur ein Wurzelergebnis liefert, dann \( y_1(x)= |x|^{r}\) und \( y_2(x)= |x|^{r}\ln |x|\).

3) Wenn das Ergebnis der Wurzel die Form \(r = a \pm bi\) hat, dann \( y_1(x)= |x|^{a}\cos(b\ln |x|)\) und \( y_2(x)= |x|^{a}\sin(b\ln |x|)\).

Inhomogene lineare Differentialgleichungen

Die allgemeine Lösung einer inhomogenen Gleichung

\(y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)\)

ist die allgemeine Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung \(+\) partikuläre Lösung zur inhomogenen Gleichung, d. h.

\(y(x) = C_1y_1(x) + C_2y_2(x) + y_0(x)\).

Die partikuläre Lösung \(y_0\) lässt sich normalerweise durch eine Schätzung, die der gleichen Form wie \(r(x)\) mit allgemeinen Koeffizienten entspricht. Durch Einsetzen dieser Schätzung in die gewöhnliche Differentialgleichung können wir die Koeffizienten auflösen, aber nur wenn die Schätzung von der korrekten Form ist.

In der unteren Tabelle haben wir eine Liste an möglichen Schätzungen für Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten zusammengestellt. Die Form der Schätzung hängt davon ab aus welcher Art von elementaren Funktionen \(r(x)\) besteht. Wenn \(r(x)\) eine Kombination aus mehreren verschiedenen elementaren Funktionen ist, dann müssen wir die entsprechenden Elemente für all diese Funktionen in unsere Vermutung einbeziehen. Die charakteristische Gleichung der entsprechenden homogenen Differentialgleichung ist \(P(\lambda)=\lambda^2+p\lambda+q=0\).

Anmerkung: Für Wurzeln von Polynomen zweiten Grades müssen wir beachten, dass

• \(P(k)=0\) und \(P'(k)\neq 0\) \(\Leftrightarrow\) \(k\in\mathbb{R}\) ist eine Wurzel von \(P\).

• \(P(k)=P'(k)= 0\) \(\Leftrightarrow\) \(k\in\mathbb{R}\) ist die einzige Wurzel von \(P\).

• \(P(ik)\neq 0\) \(\Leftrightarrow\) \(ik\in\mathbb{C}\) ist kein Wurzelergebnis \(P\); d.h. \(\sin kx\) und \(\cos kx\) sind keine Lösungen der homogenen Gleichung.