Grundlagen der anwendungsbezogenen Hochschulmathematik

Aufgabe 3.

Gegeben sei die Funktion \( h(\varphi):=\varphi^2-\varphi-1 \)

Bestimmen Sie einen Punkt \(\overline{\varphi}\in \left[0,1\right] \) , so dass die Gleichung \(h(\overline{\varphi})\cdot(1-0)=\int\limits_{0}^{1} \xi^2-\xi-1\,\mathrm{d}\xi \) erfüllt ist.

Aufgabe 4.

Bestimmen Sie folgende Integrale:

1. \( \int\limits_{{0}}^{{2}} {-3\cdot e^{3\cdot t}\,\mathrm{d}t}\)

2. \( \int\limits_{{-1}}^{{2}} {-2\cdot z^2+2\cdot z+4}\,\mathrm{d}z \)

3. \( \int\limits_{{-2}}^{{\frac{3}{2}}} {\cos \left( \frac{5\cdot \pi\cdot u}{2} \right)}\,\mathrm{d}u \)

4. \(\int\limits_{{1}}^{{5}} \ln(x)\,\mathrm{d}x\)

Aufgabe 5.

Bestimmen Sie folgende Integrale:

1. \( \displaystyle \int {x^2\cdot \sin \left( x \right)} \, \mathrm{d}{x},\)

2. \( {\displaystyle\int 4\cdot e^{2\cdot u}-2\cdot e^{3\cdot u}}\, \mathrm{d}{u} \)

3. \( {\displaystyle \int}{\frac{1}{\sin ^2\left(\pi\cdot u\right)}}\,\mathrm{d}u \)

4. \( \displaystyle\int {\frac{2\cdot \cos \left( 2\cdot z \right)}{\sin \left( 2\cdot z \right)}}\mathrm{d}z \)

Aufgabe 6.

Bestimmen Sie folgendes Integral \( \int {-\frac{x+1}{x^2-2\cdot x+1}} \, \mathrm{d}{x}.\)

Aufgabe 7.

Gegeben sei das Integral \(\int (a+bz)^n\,\mathrm{d}z \) Welche Ausdrücke sind dazu äquivalent:

1. \({\displaystyle \int} \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n\\k\end{pmatrix} a^kb^{n-k}z^{n-k}\,\mathrm{d}z \)

2. \({\displaystyle \int} a^n+(bz)^n\,\mathrm{d}z\)

3. \({\displaystyle \int} \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n\\k\end{pmatrix} a^kb^{n-k}z^{n-k}\,\mathrm{d}z \)

4. \(\sum \limits_{k=0}^n\begin{pmatrix} n\\k\end{pmatrix} a^{n-k}b^{k}\int z^{k}\,\mathrm{d}z \)

Aufgabe 8.

Gegeben sei die Funktion \(f(x):=\frac{1}1{\cos^2(z)}.\) Welche der folgende Funktionen sind Stammfunktionen von \(f\)

\( F_1(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}+\pi \)

\(F_2(x)=\frac{1}{\pi}\frac{\sin(\pi x)}{\cos(x)}+c,\,c\in\mathbb{R}\)

\(F_3(x) = \frac{1}{\cos(x)}+c,\,c\in\mathbb{R}\)

\(F_4(x) = \tan(x)+c,\,c\in\mathbb{R}\)

Aufgabe 9.

Gegeben sei die Funktion \(r(x):= {\frac{x+11}{x^2+x-12}} \) Welche der folgenden Aussagen sind richtig:

\(\int r(x)\,\mathrm{d}x = \ln(|x^2+x-12|)+c,c\in\mathbb{R}, \)

\(\int r(x)\,\mathrm{d}x = -\ln(|x+4|)+2\ln(|x-3|)+c,c\in\mathbb{R}, \)

\(\int r(x)\,\mathrm{d}x = \ln\left(\left|\frac{x-3}{x+4}\right|\right)+\ln(|x-3|)+c,c\in\mathbb{R},\)

\(\int \limits_{-3}^{4} |r(x)| \infty\,\mathrm{d}x \)