Grundlagen der anwendungsbezogenen Hochschulmathematik

Beispiel 2 (Effektivwert)

Die momentane Spannung in einem Wechselstromkeis sei durch

\[u(t) = u_m \cos(\omega t) \]

und die momentane Stromstärke sei durch \[i(t)= i_m \cos(\omega t + \phi).\]

Die momentane Leistung beim Wechselstrom ist gegeben durch

\[u(t)i(t) = u_m \cos(\omega t) \cdot i_m \cos(\omega t + \phi).\]

Die Wirkleistung ist definiert als

\[\bar{P_0} = \frac1T \int_0^T u(t)i(t)\mathrm d t = \frac1T \int_0^T u_m \cos(\omega t) \cdot i_m \cos(\omega t + \phi)\mathrm d t.\]

Es ist also das Integral \( \int_0^T u_m \cos(\omega t) \cdot i_m \cos(\omega t + \phi)\mathrm d t\) zu berechnen. Hierbei helfen uns die Addtionstheoreme:

\[2\cos\left(\frac{x+y}2\right) \cdot \cos\left(\frac{x-y}2\right) = \cos(x) + \cos(y).\]

Aus \( \frac{x+y}2=\omega t + \phi\) und \( \frac{x-y}2=\omega t\) erhalten wir

\[x=2\omega t + \phi \qquad \mbox{und} \qquad y = \phi t\]

Damit erhalten wir

\[u(t)i(t) = \frac{u_m \cdot i_m}{2}\left(\cos(\phi) + \cos(2\omega t + \phi)\right).\]

Mit \(U = \frac{u_m}{\sqrt{2}}\) und \(I = \frac{i_m}{\sqrt{2}}\)

\begin{eqnarray} \bar{P_0} & = & \frac{U\cdot I}T \int_0^T \cos(\phi) + \cos(2\omega t + \phi)\mathrm d t\\& = & U I \cos(\phi) \end{eqnarray}

Beispiel 3 (Wasserdruck auf eine Seitenwand)

Wir betrachten ein Wasserbecken mit einer Seitenwand in Form einer Ellipse. Die Wand kann durch \[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1=0\]

beschrieben werden. Wir stellen uns vor, dass diese Seitenwand in infinitesimal schmale Streifen der Höhe \(\mathrm{d}y\) und der Breite \(2x\) geschnitten wurde. Der Flächeninhalt eines Streifens ist dann \[\mathrm{d}f = 2x\,\mathrm{dy}.\]

Der Wasserdruck \(\mathrm{d}P\) auf diesem Streifen hängt von der Höhe des Wassers darüber ab; das Wasser gehe bis zur \(x\)-Achse. Damit ist der Druck gegeben durch

\[\mathrm{d}P = 2x\mathrm{d}y \cdot y \cdot \gamma.\]

Um den Gesamtdruck \(P\), der auf die Seitenwand wirkt, zu berechnen, müssen wir über die gesamte Wasserhöhe integrieren. Das heist also \[P = \int_{y=0}^{y=b} 2x \cdot y \cdot \gamma\, \mathrm{d}y.\]

Nun hängt der Integrand aber von \(x\) ab. \(x\) können wir aber durch \(y\) ausdrücken, denn es gilt:

\[ x = a\sqrt{1-\frac{y^2}{b^2}}=\frac{a}{b}\sqrt{b^2-y^2}.\]

Dies führt nun auf \[P = \int_{y=0}^{y=b} 2x \cdot y \cdot \gamma\, \mathrm{d}y=\int_{y=0}^{y=b} 2\frac{a}{b}\sqrt{b^2-y^2} \cdot y \cdot \gamma \,\mathrm{d}y.\]

Das Integral kann nun mit Hilfe der Substitution \(z = b^2-y^2\) und \(\mathrm{d}z = -2y\mathrm{d}y\) gelöst werden. An den Rändern müssen wir aber bei der Substitution aufpassen: \(z(0) = b^2\) and \(z(b) = 0\).

Mit diesen Überlegungen erhalten wir nun:

\begin{eqnarray} P & = & \int_{y=0}^{y=b} 2\frac{a}{b}\sqrt{b^2-y^2} \cdot y \cdot \gamma\, \mathrm{d}y\\& = & \gamma\int_{z=b^2}^{z=0} -\frac{a}{b}\sqrt{z} \mathrm{d}z \\ & = & \gamma\frac{a}{b} \left[-\frac23z^{\frac32}\right]_{z=b^2}^{z=0}\\& = & \gamma\frac{a}{b} \left[-0+\frac23(b^2)^{\frac32}\right]=\frac23 \gamma a b^2.\end{eqnarray}.

Beispiel 4 (Flächeninhalte)

Die bekannteste Anwendung ist die Interpretation des Integrals als Fläche zwischen einer Funktion und der \(x\)-Achse.

Der Flächeninhalt ist gegeben durch \(A = \int_a^b |f(x)|\,\mathrm{d}x\). Im Bild ist die \(f(x) = -\sin(x)+\frac1{\sqrt{2}}\) dargestellt und der Flächeninhalt kann berechnet werden durch

\[A = \int_0^{2\pi} |f(x)|\,\mathrm{d}x = \int_{0}^{\frac{\pi}4}-\sin(x)+\frac1{\sqrt{2}}\,\mathrm{d}x +\]

\[+\int_{\frac{\pi}4}^{\frac{3}4\pi}\sin(x)-\frac1{\sqrt{2}}\,\mathrm{d}x\int_{\frac{3}4\pi}^{2\pi}-\sin(x)+\frac1{\sqrt{2}}\,\mathrm{d}x=\sqrt{2}\pi.\]

Beispiel 5 (Länge eines Funktionsgraphen)

Die zugrundeliegende Idee ist ganz interessant. Ein infinitesimal kleines Stück des Graphen besitzt die Länge\[\Delta s \approx \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}=\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2}\Delta x\approx \sqrt{1+f'(x)^2}\Delta x.\]

Wenn wir nun über das Intervall \((a,b)\) integrieren, erhalten wir

\[l = \int_a^b \sqrt{1+f'(x)^2} \,\mathrm{d}x.\]

Damit erhalten wir für die Länge des Graphen der Funktion \(g(x) = \cosh(x)\) über \([-1,1]\)

\[ l = \int_{-1}^{1} \sqrt{1+\sinh(x)^2} \,\mathrm{d}x = \int_{-1}^{1} \cosh(x) \,\mathrm{d}x = 2\sinh(1).\]

Beispiel 6 (Flächeninhalt einer Rotationsfläche)

Wieder betrachten wir eine Funktion \(y=f(x)\) auf dem Intervall \([a,b]\). Diesmal wird die Funktion um die \(x\)-Achse rotiert, d.h. die Funktion \(f(x) = \cosh(x)\) auf \([-1,1]\).

Für ein beliebiges \(x\) aus diesem Interval sehen wir infinitesimal dünne Kreise mit der Bogenlänge \(2\pi |f(x)|\) und der Breite \(\sqrt{1+f'(x)^2}\Delta x\). Auf diese Weise erhalten wir den Flächeninhalt dieses Kreises

\[2\pi |f(x)|\cdot\sqrt{1+f'(x)^2}\Delta x.\]

Durch Integration über das Intervall \([a,b]\) erhalten wir den Flächeninhalt

\[A = 2\pi\int_a^b |f(x)|\cdot\sqrt{1+f'(x)^2}\,\mathrm{d}x. \]

In unserem Beispiel erhalten wir

\[ A = 2\pi \int_{-1}^{1} \cosh(x)\sqrt{1+\sinh(x)^2}\,\mathrm{x} = 2\pi \int_{-1}^{1} \cosh(x)^2\,\mathrm{x}=2 \pi (1 + \sinh(1) \cosh(1)).\]

Beispiel 7 (Volumen eines Rotationskörpers)

Wir erweitern nochmal die Idee von oben. An jedem Punkt \(x\) überdeckt der Kreis die Fläche \(A(x) = \pi f(x)^2\). Durch Integration von \(a\) nach \(b\) erhalten wir das Volumen \[ V = \int_a^b A(x) \,\mathrm{d} x = \pi \int_a^b f(x)^2\,\mathrm{d} x.\]

In unserem Beispiel führt dies auf folgendes:

\[ V = \int_{-1}^{1} A(x) \,\mathrm{d} x = \pi \int_{-1}^{1} f(x)^2\,\mathrm{d} x =\pi \int_{-1}^{1} \cosh(x)^2\,\mathrm{d} x = \pi (1 + \sinh(1) \cosh(1)).\]