Grundlagen der anwendungsbezogenen Hochschulmathematik

In diesem Kapitel werden Integrale einiger elementarer Funktionen berechnet.

Konstante Funktionen

Gegeben sei die konstante Funktion \(f(x) = c\). Gesucht ist das Integral \(\int\limits_a^b f(x)\,\mathrm{d} x = \int\limits_a^b c \, \mathrm{d}x\).

• Lösung durch Finden einer Stammfunktion Aus dem vorherigen Kapitel ist bekannt, dass für \(g(x) = c\cdot x\) gilt: \(g'(x) = c\). Das heißt, \(c \cdot x\) ist eine Stammfunktion für \(c\). Damit gilt also:\[\int\limits_a^b c \, \mathrm{d}x =[c \cdot x]_{x=a}^{x=b} = c\cdot b - c \cdot a = c \cdot (b-a).\]

  Anmerkung: Natürlich wäre auch eine Funktion \(h(x) = c \cdot x + d\) eine Stammfunktion von \(f\), da die Konstante \(d\in\mathbb{R}\) beim Ableiten wegfällt. Der Einfachheit halber kann also mit \(c \cdot x\) gerechnet werden, da das \(d\) beim Rechnen ohnehin wegfallen würde.

• Lösung durch geometrische Betrachtung Der gesuchte Flächeninhalt unter der konstanten Funktion bildet ein Rechteck mit der Höhe \(c\) und der Länge \(b-a\). Damit ist der Flächeninhalt \(c \cdot (b-a)\), was mit der Lösung des Integrals übereinstimmt.

Lineare Funktionen

Gegeben sei die lineare Funktion \( f(x) = mx\). Gesucht ist das Integral \(\int\limits_a^b f(x)\, \mathrm dx\).

• Lösen durch Finden einer Stammfunktion Die Stammfunktion einer linearen Funktion ist auf jeden Fall eine quadratische Funktion, da \(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} x^2 = 2x \) gilt, also die Ableitung einer quadratischen Funktion eine lineare Funktion ergibt. Hier ist es noch wichtig, den Vorfaktor zu beachten. Es gilt \(\frac{\mathrm d (m \cdot \frac{1}{2} \cdot x^2)}{\mathrm dx} = mx\).

  Damit gilt für das Integral \(\int\limits_a^b mx \mathrm{d}x = \left[\frac{m}{2}x^2 \right]_{x=a}^{x=b}= \frac{m}{2}b^2 - \frac{m}{2}a^2 \).

• Lösen durch geometrische Betrachtung Das gesuchte Integral ergibt sich geometrisch, indem vom Flächeninhalt des Dreiecks mit den Ecken \((0|0)\), \((b|0)\) und \((b| mb)\) der des Dreiecks mit den Ecken \((0|0)\), \((a|0)\) und \((a| ma)\) abgezogen wird. Aus Formel für den Flächeninhalt von Dreiecken \(\frac{1}{2} \cdot \mbox{Grundlinie} \cdot \mbox{Höhe}\) folgt, ist der Flächeninhalt des ersten Dreiecks \(\frac{1}{2}\cdot b \cdot mb = \frac{1}{2}mb^2\) und der des zweiten Dreiecks analog \(\frac{1}{2}ma^2\). Für das Integral ergibt sich somit \(\frac{m}{2}b^2 - \frac{m}{2}a^2\). Dies stimmt mit dem Integral, das mit Hilfe der Stammfunktion berechnet wurde, überein.

Potenzfunktionen

Gesucht ist das Integral \(\int\limits_a^b x^n\, \mathrm dx\). Bei konstanten und linearen Funktionen haben wir schon gesehen, dass der Exponent einer Funktion beim Ableiten um Eins kleiner wird. Beim Integrieren muss er also größer werden. Es gilt:

\[\frac{\mathrm d }{\mathrm dx}x^n = n \cdot x^{n-1}. \]

Das heißt, die Stammfunktion für \(x^n\) muss den Exponenten \(n+1\) besitzen. Es gilt:

\[\frac{\mathrm d }{\mathrm dx} x^{n+1}= (n+1) \cdot x^n\].

Somit muss die Gleichung noch mit \(\frac{1}{n+1}\) multipliziert werden, damit sich der Faktor vor dem \(x^n\) wegkürzt:

\[\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \frac{1}{n+1} x^{n+1} = \frac{n+1}{n+1} \cdot x^n = x^n\].

Es gilt also: \(\int x^n\, \mathrm dx = \frac{1}{n+1} x ^{n+1},\,c\in\mathbb{R}\).

Die Formel \(\int x^n\, \mathrm dx = [\frac{1}{n+1} x^{n+1}] \) lässt sich auch anwenden, falls der Exponent der Funktion keine natürliche Zahl und nicht \(-1\) ist.

Aufgabe Überlegen Sie sich, dass für \(x<0\) die Formel \(\int x^{-1}\,\mathrm d x=\ln(-x)+c,\,c\in\mathbb{R}\) gilt.

Natürliche Exponentialfunktion

Die natürliche Exponentialfunktion \(f(x) = e^x\) ist eine der am einfachsten zu differenzierenden und zu integrierenden Funktionen.

Da die Ableitung von \(e^x\) auch wieder \(e^x\) ergibt, ist \(\int e^x\, \mathrm dx = e^x +c, \, c\in \mathbb{R}\).

Natürliche Logarithmusfunktion

Die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion ist \(\ln'(x) =\frac{1}{x}\) für \(x>0\). Es gilt sogar \(\ln'(x) =\frac{1}{x}\) für \(x<0\). Diese Ergebnisse zusammen ergeben für die Stammfunktion von \(\frac{1}{x}\)

\[\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \ln\left(|x|\right) +c , c\in\mathbb{R}.\]

Für den natürlichen Logarithmus kann eine Stammfunktion angegeben werden:

\[ x\ln(x) - x + c ,\, c\in\mathbb{R}.\]

Überzeugen Sie sich durch Differentiation von der Gültigkeit dieser Gleichung.

Trigonometrische Funktion

Auch die Stammfunktionen von \(\sin\) und \(\cos\) ergeben sich logisch, wenn man "rückwärts" ableitet.

\(\int \sin(x)\, \mathrm dx = -\cos(x)+c,\,c\in\mathbb{R}\), da \( (-\cos(x))' =-(-\sin(x))=\sin(x)\)
\(\int \cos(x)\, \mathrm dx = \sin(x)+c,\,c\in\mathbb{R}\), da \((\sin(x))' = \cos(x) \) gilt.