Grundlagen der anwendungsbezogenen Hochschulmathematik
6. Integralrechnung
6.4. Technisches Integrieren
Technisches Integrieren
Das Symbol \(\int \limits_a^b f(x)\, \mathrm d x\) wurde bis jetzt verwendet, um den Flächeninhalt unter der Funktion \(f\) zwischen den Punkten \(a\) und \(b\) zu berechnen oder als Rechenoperation.
Doch wie genau wird aus dem Symbol eine Zahl?
Die Antwort darauf gibt der bereits genannte Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Für jede beliebige Stammfunktion \(F\) zur Funktion \(f\) ist \[\int \limits_a^b f(x)\, \mathrm{d}x = F(b)-F(a).\]
Um ein Integral zu berechnen, sind zwei Schritte nötig:
- Stammfunktion finden: Gesucht ist eine Funktion \(F\), für die gilt \(F'(x)=f(x)\) für alle \(x\in(a,b)\). Wie wir bereits wissen, gibt es für jede Funktion verschiedene Stammfunktionen, die sich alle nur durch addierte Konstanten unterscheiden. Am einfachsten ist es, die Stammfunktion mit der Konstante \(0\) zu verwenden. Bei der Berechnung wird dann gewöhnlich die Stammfunktion in eckige Klammern geschrieben und die Grenzen rechts von der rechten Klammer angefügt: \([F(x)]_{x=a}^{x=b}\).
- Grenzen einsetzen: Nun werden die Werte \(b\) und \(a\) in die Funktion \(F\) eingesetzt und deren Differenz berechnet.
Beispiel 4
Berechne \(\int_{-1}^{1} e^{-x}\, \mathrm{d} x\).
Die Stammfunktion von \(e^{-x}\) ist \(-e^{-x}\), denn es gilt: \((-e^{-x})'=-e^{-x}\cdot(-1) = e^{-x}\). Also gilt:
\[\int_{-1}^{1} e^{-x}\, \mathrm{d} x=\left[-e^{-x}\right]_{x=-1}^{x=1}=-e^{-1}-(-e^{1})=-e^{-1}+e^{1}=2\cdot\sinh(1).\]
Beispiel 5
Berechne \(\int\limits_{0}^{1} \sin(\pi x)\, \mathrm{d} x\).
Die Stammfunktion von \(\sin(\pi x)\) ist \(-\frac1{\pi}\cos(\pi x)\), denn es gilt:
\((-\frac1{\pi}\cos(\pi x))'=-\frac1{\pi}\left(-\sin(\pi x)\cdot \pi\right) = \sin(\pi x)\). Also gilt:
\[\int\limits_{0}^{1} \sin(\pi x)\, \mathrm{d} x =\left[-\frac1{\pi}\cos(\pi x)\right]_{x=0}^{x=1}= -\frac1{\pi}\left(\cos(\pi)-\cos(0)\right) = -\frac2{\pi}.\]
Weiterführendes Beispiel
Gesucht ist das Integral \(\int\limits_0^1 \frac{x}{\sqrt{25-9x^2}}\mathrm{d} x\).
Die Stammfunktion lässt sich mit folgendem Ansatz finden: Wir betrachten \(F(x) = a(25-9x^2)^{\frac 12}\), wobei \(a\) eine reelle Zahl sei. Es gilt:
\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} F(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(a(25-9x^2)^{\frac 12}\right) = a\cdot \frac12 \cdot (25-9x^2)^{-\frac 12}\cdot 2\cdot 9 x = \frac{9 a x}{(25-9x^2)^{\frac 12}}.\]
Für \(a = \frac19\) haben wir die Stammfunktion zum Integranden gefunden. Damit erhalten wir
\[\int\limits_0^1 \frac{x}{\sqrt{25-9x^2}}\,\mathrm{d} x= \left[-\frac19 (25-9x^2)^{\frac12} \right]_{x=0}^{x=1}= -\frac19(\sqrt{16}-\sqrt{25})=\frac19 .\]