5. Differentialrechnung

5.2. Eigenschaften von Ableitungen

Eigenschaften von Ableitungen

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit nützlichen Eigenschaften der Ableitung. Diese Eigenschaften erlauben es uns Ableitungen für einige bekannte Klassen von Funktionen wie Polynome und rationale Funktionen zu finden.

Stetigkeit und Ableitung

Satz 1.

Wenn \(f\)differenzierbar im Punkt \(x_0\) ist, dann ist \(f\) stetig im Punkt \(x_0\). Es gilt: \[ \lim_{h\to 0} f(x_0+h) = f(x_0).\]

Warum?
Ist \(f\)differenzierbar, so folgt \[f(x_0)+h\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \rightarrow f(x_0)+0\cdot f'(x_0)=f(x_0),\] für \(h \to 0\).

Bemerkung. Wenn eine Funktion stetig im Punkt \(x_0\) ist, muss sie nicht in dem Punkt differenzierbar sein. Zum Beispiel ist die Funktion \(g(x) = |x|\) stetig, aber nicht differenzierbar im Punkt \(0\). Dies wurde im vorherigen Kapitel im Beispiel ausführlich besprochen. Zur Erinnerung: Man sich leicht vorstellen, wenn man die Ableitung als Steigung der Tangente interpretiert. Im Punkt \(x_0=0\) lassen sich unendlich viele Tangenten anlegen, somit existiert die Steigung der Tangente nicht.

Ableitungsregeln

Die Ableitung einer Funktion ist über den Grenzwert definiert. Dies ist jedoch für das Bestimmen von Ableitungen sehr umständlich. Als nächstes folgen einige wichtige Regeln, die oft für praktische Probleme bei der Bestimmung der Ableitung einer gegebenen Funktion angewandt werden.
Im Folgenden seien \(f\) und \(g\) zwei auf \( \mathbb{R}\) definierte auf \( \mathbb{R}\) differenzierbare Funktionen. Betrachtet man Funktionen, die nur auf offenen Intervallen z.B. \(I_1\) und \(I_2\) differenzierbar sind, dann gelten die folgenden Regeln für ein offenes Intervall \(I \in I_1 \cap I_2 \).

Ein konstanter Faktor

Ist \( f \) eine Funktion der Form \[ f(x) = k \cdot u(x) \] mit der reellen Zahl \( k \) und der Funktion \( u \), dann gilt: \[ f'(x) = k \cdot u'(x) \]

Beweis Faktorregel 

Die Summenregel

\[(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)\]

Beweis Summenregel

Die Produktregel

\[(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\]

Beweis Produktregel

Die Ableitungsregel für Polynome

\[ (ax^m)' = amx^{m-1} \text{, } m \in \mathbb{Z}\]

Beweis Ableitungsregel für Polynome

Die Umkehrfunktion (Reziproke Regel)

\[\Big(\frac{1}{f}\Big)'(x) = - \frac{f'(x)}{f(x)^2} \text{, } f(x) \neq 0\]

Beweis

Die Quotientenregel

\[(f/g)'(x) = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2},\ g(x) \neq 0\]

Beweis Quotientenregel

Beispiel 1:

\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}(x^{2006}+5x^3+42) &= \frac{d}{dx}x^{2006}+5\cdot \frac{d}{dx}x^3+42\cdot \frac{d}{dx}1 \\ &= 2006x^{2005}+5\cdot 3x^2+42\cdot 0 \\ &= 2006x^{2005}+5\cdot 3x^2+0 \\ &= 2006x^{2005}+5\cdot 3x^2 \\ &= 2006x^{2005}+15x^2 \end{aligned}\]

Beispiel 2:

\[\begin{aligned}\frac{d}{dx} [(x^4-2)(2x+1)] &= \frac{d}{dx}(x^4-2) \cdot (2x+1) + (x^4-2) \cdot \frac{d}{dx}(2x + 1) \\ &= 4x^3(2x+1) + 2(x^4-2) \\ &= 8x^4+4x^3+2x^4-4 \\ &= 10x^4+4x^3-4.\end{aligned}\]

Bemerkung. Wir können die Antwort überprüfen, indem wir auf eine andere Weise ableiten: \[\frac{d}{dx} [(x^4-2)(2x+1)] = \frac{d}{dx} (2x^5 +x^4 -4x -2) = 10x^4 +4x^3 -4.\]

Die Funktion \( (x^4-2)(2x+1) \).

Beispiel 3:

Für \(x \neq 0\) erhalten wir \[\frac{d}{dx} \frac{3}{x^3} = 3 \cdot \frac{d}{dx} \frac{1}{x^3} = -3 \cdot \frac{\frac{d}{dx} x^3}{(x^3)^2} = -3 \cdot \frac{3x^2}{x^6}= - \frac{9}{x^4}.\]

Bemerkung. Es gibt einen weiteren Weg, um die obige Aufgabe zu lösen, indem man bemerkt, dass \(\frac{1}{x^3} = x^{-3}\) ist und mit der Regel für Exponenten ableitet: \[\frac{d}{dx} \ \frac{3}{x^3} = 3 \cdot \frac{d}{dx} x^{-3} = 3 \cdot (-3x^{-4})= - \frac{9}{x^4}\]

Beispiel 4:

\[\begin{aligned}\frac{d}{dx} \frac{x^3}{1+x^2} & = \frac{(\frac{d}{dx}x^3)(1+x^2)-x^3\frac{d}{dx}(1+x^2)}{(1+x^2)^2} \\ & = \frac{3x^2(1+x^2)-x^3(2x)}{(1+x^2)^2} \\ & = \frac{3x^2+x^4}{(1+x^2)^2}.\end{aligned}\]

Die Funktion \(\frac{x^3}{1+x^2}\).

Satz von Rolle

Version I
Seien \(a<b\) und \( f: [a,b]\to \mathbb {R} \) eine stetige Funktion, die im offenen Intervall \((a,b)\) differenzierbar ist. Und es gelte \(f(a)=f(b)\). Dann existiert ein \(x_0 \in (a,b) mit f'(x_0)=0\).

Version II
Seien \(a<b\) und \( f: [a,b]\to \mathbb {R} \) eine stetige Funktion, die im offenen Intervall \((a,b)\) differenzierbar ist. Wenn \(f\) differenzierbar im lokalen Extremum \(x_0\in \, (a,b)\) ist, dann gilt \(f'(x_0)=0\).

Was bedeutet das geometrisch? bedeutet dies: Gibt es auf dem Graphen der Funktion zwei Kurvenpunkten mit dem gleichen Funktionswert, so gibt es mindestens eine Stelle der Funktion an der die Steigung gleich null ist. Das heißt, an dieser Stelle liegt die Tangente waagrecht bzw. parallel zur x-Achse. Somit sagt der Satz insbesondere aus, dass zwischen zwei Nullstellen einer differenzierbaren Funktion eine Nullstelle der Ableitung liegt. Der Satz von Rolle ist somit ein Spezialfall des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung.


Visualisierung Satz von Rolle

Beweis(-idee)

Die L'Hospitalschen Regeln

Ein nützlicher Satz für die Bestimmung von Grenzwerten ist der Satz von L'Hospitalschen. Es gibt viele verschiedene Varianten dieser Regel, aber wir stellen eine einfache Form vor.

Wir nehmen dafür an, dass \(f(x_0)=g(x_0)=0\) gilt und die Funktionen\(f,g\)differenzierbar auf einem Intervall \((x_0-\delta,x_0+\delta)\) sind.

Wenn \[ \lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)} \] existiert, dann gilt \[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}. \]

Beweis(-idee)

Beispiel 5
Wir betrachten \[ \lim_{x\to 0}\frac{sin(x)}{x} \]. Es gilt also \[ \lim_{x\to 0}\frac{sin(x)}{x} = \frac{sin(0)}{0} = \frac{0}{0} \] Hier kann man den Limes hier nicht direkt ausrechnen. Hier wendet man also die L'Hospitalschen Regeln an. Man betrachtet nun die Funktionen \[ f(x) = sin(x) \] und \[ g(x) = x \] Diese werden getrennt voneinander abgeleitet. Es ergeben sich folgende Ableitungen: \[ f'(x) = cos(x) \] und \[ g'(x) = 1 \]. Als nächstes bestimmt man \[ \lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to 0}\frac{cos(x)}{1} = \frac{cos(0)}{1} = 1 \]. Somit ist der Grenzwert \[ \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to 0}\frac{sin(x)}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to 0}\frac{cos(x)}{1} = 1 \]