Dieser Abschnitt beschreibt, wie Funktionen zweier Veränderlicher definiert sind und gibt einige Beispiele.
Grundlagen der anwendungsbezogenen Hochschulmathematik
Completion requirements
4. Funktionen II
4.5. Funktionen mehrerer Veränderlicher
Funktionen zweier Veränderlicher
Funktionen, die von mehr als einer Variablen oder Veränderlichen abhängen, nennt man Funktionen mehrerer Veränderlicher. Das einfachste Beispiel sind Funktionen mit zwei Variablen.
Der Definitionsbereich \(D\) von Funktionen zweier Veränderlicher ist eine Teilmenge der x-y-Ebene. Jedem Punkt \((x_0,y_0) \in D\) dieser Ebene wird ein Wert \(z_0= f(x_0,y_0)\) zugeordnet. Im Raum lässt sich dieser Zusammenhang durch einen Punkt mit den Koordinaten \((x_0, y_0,z_0)\) darstellen; man erhält so eine Fläche im Raum als Funktionsgraphen.
Formal wird eine Funktion zweier Veränderlicher wie folgt beschrieben:
\(f: D \subseteq \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\)
\((x,y) \rightarrow f(x,y)\)
Funktionen, die von mehr als einer Variablen oder Veränderlichen abhängen, nennt man Funktionen mehrerer Veränderlicher. Das einfachste Beispiel sind Funktionen mit zwei Variablen.
Der Definitionsbereich \(D\) von Funktionen zweier Veränderlicher ist eine Teilmenge der x-y-Ebene. Jedem Punkt \((x_0,y_0) \in D\) dieser Ebene wird ein Wert \(z_0= f(x_0,y_0)\) zugeordnet. Im Raum lässt sich dieser Zusammenhang durch einen Punkt mit den Koordinaten \((x_0, y_0,z_0)\) darstellen; man erhält so eine Fläche im Raum als Funktionsgraphen.
Formal wird eine Funktion zweier Veränderlicher wie folgt beschrieben:
\(f: D \subseteq \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\)
\((x,y) \rightarrow f(x,y)\)
Einführungsbeispiel: Sattelfläche
Wir stellen uns ein dreidimensionales Koordinatensystem vor. Jedem Punkt \((x_1,y_1)\) der x-y-Ebene ordnen wir den Punkt \((x_1,y_1,z_1)\) mit \(z_1 = x_1 \cdot y_1\) zu.
Für jedes feste \(x\) ergibt sich eine Geradengleichung:
\(z = const. \cdot y\)
Für \(x = 2\) erhält man beispielsweise \(z = 2 \cdot y\). Diese Gleichungen beschreiben eine Gerade, die parallel zur y-z-Ebene verläuft. Analog gilt dies für jede Gleichung \(z = const. \cdot y\).
Für variables \(x\) erhält man eine Geradenschar; sie erzeugt eine Fläche, die sog. Sattelfläche.
Wir stellen uns ein dreidimensionales Koordinatensystem vor. Jedem Punkt \((x_1,y_1)\) der x-y-Ebene ordnen wir den Punkt \((x_1,y_1,z_1)\) mit \(z_1 = x_1 \cdot y_1\) zu.
Für jedes feste \(x\) ergibt sich eine Geradengleichung:
\(z = const. \cdot y\)
Für \(x = 2\) erhält man beispielsweise \(z = 2 \cdot y\). Diese Gleichungen beschreiben eine Gerade, die parallel zur y-z-Ebene verläuft. Analog gilt dies für jede Gleichung \(z = const. \cdot y\).
 |
 |
Für variables \(x\) erhält man eine Geradenschar; sie erzeugt eine Fläche, die sog. Sattelfläche.
Beispiel: Rotationsparaboloid
Wir betrachten die Funktion mit \(f (x,y) = x^2 + y^2\).
Man erkennt die Parabeln auf dieser Fläche, wenn man sich bei der Funktionsgleichung jeweils \(x\) oder \(y\) konstant denkt.
Wir betrachten die Funktion mit \(f (x,y) = x^2 + y^2\).
Man erkennt die Parabeln auf dieser Fläche, wenn man sich bei der Funktionsgleichung jeweils \(x\) oder \(y\) konstant denkt.
Aufgabe: Lineare Funktionen
Wir betrachten die Funktionsgleichung
\(z(x,y) = 2x + 5y\)
Begründen Sie, warum der Graph der Funktion eine Ebene darstellt, indem Sie sich für den x-Wert (bzw. den y-Wert) nacheinander feste Werte z. B. \(x = \{-2,-1, 0, 1, 2\}\) eingesetzt denken.
Wir betrachten die Funktionsgleichung
\(z(x,y) = 2x + 5y\)
Begründen Sie, warum der Graph der Funktion eine Ebene darstellt, indem Sie sich für den x-Wert (bzw. den y-Wert) nacheinander feste Werte z. B. \(x = \{-2,-1, 0, 1, 2\}\) eingesetzt denken.
Beispiel: Funktionsscharen
\(f_a(x) = f (a, x) = a \cdot x^2\)
Hier fasst man Variable \(x\) und Scharparameter \(a\) als die beiden Variablen der Funktion zweier Veränderlicher auf.
Weitere Beispiele: \(f_a(x) = a \cdot \sin(x)\) wird als \(f(a,x) = a \cdot \sin(x)\) bzw. als \(f(x,y) = y \cdot \sin(x)\) aufgefasst.
In der Abbildung rechts ist der Graph der Funktion \(z = a \cdot x^2\) für \(a = \{-2, \ldots, 2\}\) gezeichnet.
\(f_a(x) = f (a, x) = a \cdot x^2\)
Hier fasst man Variable \(x\) und Scharparameter \(a\) als die beiden Variablen der Funktion zweier Veränderlicher auf.
Weitere Beispiele: \(f_a(x) = a \cdot \sin(x)\) wird als \(f(a,x) = a \cdot \sin(x)\) bzw. als \(f(x,y) = y \cdot \sin(x)\) aufgefasst.
In der Abbildung rechts ist der Graph der Funktion \(z = a \cdot x^2\) für \(a = \{-2, \ldots, 2\}\) gezeichnet.
Beispiel: Torus
Die Gleichung
\((\sqrt{x^2 + y^2} - R)^2 + z^2 - r^2 =0\)
beschreibt einen sog. Torus. Diesen kann man sich entstanden denken als einen Kreis vom Radius \(r\), der im Abstand \(R\) um die z-Achse rotiert. Die z-Achse ist Symmetrieachse, die x-y-Ebene Symmetrieebene des Torus.
Allerdings ist diese Fläche kein Graph einer Funktion, da es Punkte \((x_0,y_0)\) der Ebene unter dem Torus gibt, denen zwei z-Werte zugeordnet sind (was bei einer Funktion nicht sein kann). Um einen Funktionsgraphen zu erhalten, muss man entweder die obere (\(z \ge 0\)) oder die untere (\(z \le 0\)) Hälfte des Torus auswählen.
Die Gleichung
\((\sqrt{x^2 + y^2} - R)^2 + z^2 - r^2 =0\)
beschreibt einen sog. Torus. Diesen kann man sich entstanden denken als einen Kreis vom Radius \(r\), der im Abstand \(R\) um die z-Achse rotiert. Die z-Achse ist Symmetrieachse, die x-y-Ebene Symmetrieebene des Torus.
Allerdings ist diese Fläche kein Graph einer Funktion, da es Punkte \((x_0,y_0)\) der Ebene unter dem Torus gibt, denen zwei z-Werte zugeordnet sind (was bei einer Funktion nicht sein kann). Um einen Funktionsgraphen zu erhalten, muss man entweder die obere (\(z \ge 0\)) oder die untere (\(z \le 0\)) Hälfte des Torus auswählen.
Beispiel: Glockenkurve
Der Graph der Funktion
\( z = C \cdot e^{-a^{2}(x^2 + y^2)}\)
mit Konstanten \(a,C \in \mathbb{R}\) ähnelt einer Glocke. Er ist rotationssymmetrisch bezüglich der z-Achse. Für konstante x- oder y-Werte erhält man die Gaußsche Glockenkurve, die in der Statistik die Normalverteilung charakterisiert.
Der Graph der Funktion
\( z = C \cdot e^{-a^{2}(x^2 + y^2)}\)
mit Konstanten \(a,C \in \mathbb{R}\) ähnelt einer Glocke. Er ist rotationssymmetrisch bezüglich der z-Achse. Für konstante x- oder y-Werte erhält man die Gaußsche Glockenkurve, die in der Statistik die Normalverteilung charakterisiert.
