Grundlagen der anwendungsbezogenen Hochschulmathematik
2. Folgen und Grenzwerte
2.1. Definitionen und Darstellung einer Folge
Dieser Abschnitt stellt die wichtigsten Definitionen über Folgen vor. Diese Definitionen erklären die allgemeine Schreibweise von Folgen, aber wir schränken uns danach auf reelle Folgen ein.
Würde man \[\left( 3, ~1, ~4, ~1, ~5, ~9, ~2, ~6 \right) \] und \[ \left( 1, 1, ~2, ~3, ~4, ~5, ~6, ~9 \right) \]
als verschiedene Objekte bezeichnen? Oder würde man sagen, dass sie in einer gewissen Weise gleich sind? Wann würde man sie als gleich und wann würde man sie als verschieden bezeichnen?
Der Schlüssel zum Vergleich ist die Reihenfolge. Sobald die Reihenfolge der Zahlen als Kriterium herangezogen wird, sind die beiden Objekte verschieden. Wird die Reihenfolge der Zahlen nicht als Kriterium herangezogen, können die Objekte als Mengen mit jeweils 8 Elementen betrachtet und als gleich bezeichnet werden.
Aber wie legt man eine Reihenfolge fest? Am einfachsten wäre eine Aufzählung:
-
das erste Element ist 3;
-
das zweite Element ist 1;
-
das dritte Element ist 4;
-
das vierte Element ist 1;
-
das fünfte Element ist 5;
-
usw....
Wir haben eben eine natürliche Zahl (genauer genommen eine Ordinalzahl) jedem Ausdruck zugewiesen. Die Reihenfolge ist nun fixiert. Wie in diesem Kurs noch erklärt wird, wird durch Zuweisung eine Funktion beschrieben. Aber in diesem Fall hat die Funktion einen speziellen Definitionsbereich, nämlich die Menge der natürlichen Zahlen \( \mathbb{N} \). Allgemeiner würde sich auch jede Menge mit zu den natürlichen Zahlen \( \mathbb{N} \) äquivalenten Eigenschaften zur Nummerierung eignen. Ein Beispiel hierfür ist die Menge der ganzen Zahlen \( \mathbb{Z} \). Auch bestünde die Möglichkeit nur eine (endliche) Teilmenge der natürlichen Zahlen als Definitionsmenge zu benutzen.
Wir werden im Folgenden aber immer die natürlichen Zahlen als Definitionsbereich verwenden. Außerdem möchten wir das bisherige in einer mathematischen Definition festhalten.
Definition 1 (Folge)
Eine Abbildung \[ a:\mathbb{N} \to \mathbb{M},\] die jeder natürlichen Zahl eine Zahl zuordnet, heißt eine (unendliche) Folge. Anstelle von \( \mathbb{N} \) kann auch \( \mathbb{N_0} \) als Definitionsbereich gewählt werden. Die Funktionswerte einer Folge werden im Unterschied zur klassischen Notation bei Funktionen mit \( a_n \) statt \( a(n) \) bezeichnet und die Glieder der Folge genannt. \( n \) wird Index der Folge genannt.
Spezialfall:
Eine Abbildung \[ a:\mathbb{N} \to \mathbb{R},\] die jeder natürlichen Zahl eine reelle Zahl zuordnet, heißt eine (unendliche) Folge reeller Zahlen, eine reelle Zahlenfolge, eine Folge in \( \mathbb{R} \) oder auch kurz eine Folge.
Kurz gesagt: Eine Folge ist eine unendliche Aufzählung von Elementen.
Um eine Folge von der Menge ihrer Glieder zu unterscheiden, werden oft die Symbole
\[ (a_n)_n \text{ oder } (a_n) \]
verwendet. Ist durch Angabe der ersten Folgenglieder offensichtlich, welchem Bildungsgesetz die Folge genügt, so kann sie auch in der Form
\[ (a_1, a_2, a_3, a_4, ...) \]
angegeben werden. Folgen werden in der Regel mit den Anfangsbuchstaben des Alphabets bezeichnet.
Folgen sind besondere Funktionen. Daher werden sie durch eine besondere Notation von der üblichen Bezeichnung für Funktionen (nämlich \( f \)) unterschieden. Man schreibt \( (a_n) \) anstatt \( a \) :
\( a: \mathbb{N} \longmapsto \mathbb{M} \)
\( n \mapsto a_n \)
\( a_n \) wird als \( n-tes \) Folgenglied der Folge \( a \) gelesen, wobei die gesamte Folge mit \( \left( a_n \right)_{n \in \mathbb{N}} \) oder \( \left( a_n \right) \) bezeichnet wird. Die Zahl n wird als Index des Folgenglieds \( a_n \) bezeichnet.
Beispiel 1.
Manchmal müssen einige Ideen kombiniert werden. So wird die Folge
\( 2,~~0,~-8,~~0,~~32,~~0,~-128,~... \) definiert durch
\( a_n=\cos(\frac{\pi}{2}(n-1)) \cdot 2^n \) für \( n\in\mathbb{N} \) .
Übung 2.
Finde eine Formel, welche die Folge \( 0, ~\frac{1}{2}, ~\frac{2}{3}, ~\frac{3}{4}, ~\frac{4}{5}, \dots \) beschreibt.
Darstellung von Folgen
Es gibt verschiedene Methoden um Folgen zu definieren. In diesem Abschnitt stellen wir die gebräuchlichsten Methoden vor. Dazu gehören:
- Explizite Forme
- Rekursion
- Beschreibende Definition
Explizite Formel
Eine Folge kann durch eine explizite Formel für das \( n\)-te Element dargestellt werden. Jedoch kann nicht jede Folge durch eine Formel definiert werden.
Beispiel 2:
Die Formel \( a_n = \frac{n^2+n}{2}\) erzeugt die Folge:
| \(a_{n}\) | \(a_{1}\) | \(a_{2}\) | \(a_{3}\) | \(a_{4}\) | \(a_{5}\) | \(\ldots\) | \(a_{10}\) | \(\ldots\) | \(a_{42}\) | \(\ldots\) |
| 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | \(\ldots\) | 55 | \(\ldots\) | 903 | \(\ldots\) |
Als Resultat liefert die Formel wegen der Gaußschen Summationsformel (mehr dazu) die Summe aller natürlichen Zahlen zwischen 1 und n :
\[ \frac{n^2+n}{2} = \frac{n\cdot (n+1)}{2} = \sum\limits_{k=1}^n k \]
Eine explizite Formel erlaubt es, ohne eine Vielzahl an Berechnungen einerseits direkt jedes beliebige Element einer Folge zu berechnen und andererseits zu prüfen, ob eine gegebene Zahl in der Folge auftritt.
Übung 3.
Gegeben sei die Folge von Beispiel 2. Gehören die Zahlen \( 78 \) und \( 100 \) zu dieser Folge?
Rekursion
Im Gegensatz zur expliziten Formel können die Elemente einer Folge auch durch ihre Beziehungen untereinander spezifiziert werden. Betrachten wir das folgende Beispiel:
-
das erste Element der Folge \(\left( b_n \right)\) ist \( b_0=12\);
-
jedes weitere Element der Folge ist das doppelte des vorhergehenden Elements.
Diese Bedingungen genügen, um alle alle Elemente der Folge zu definieren:
| \(b_{n}\) | \(b_{1}\) | \(b_{2}\) | \(b_{3}\) | \(b_{4}\) | \(b_{5}\) | \(\ldots\) | \(b_{n-1}\) | \(b_n\) | \(\ldots\) |
| 12 | 24 | 48 | 96 | 192 | \(\ldots\) | \(2b_{n-2}\) | \(2b_{n-1}\) | \(\ldots\) |
Dies kann kurz wie folgt geschrieben werden:
-
\(b_1 = 12\);
-
\(b_n = 2b_{n-1}\).
Diese Methode der Definition einer Folge heißt rekursiv und basiert auf dem Prinzip der Rekursion. Im Allgemeinen können zur rekursiven Berechnung von Folgengliedern alle bisher berechneten Folgenglieder herangezogen werden:
\[a_n = F(a_{n-1}, a_{n-2}, ... , a_{n-k}), \text{ wobei }k \geq 1\]
Eine sehr populäre rekursiv definierte Folge ist die Fibonacci Folge, die im nächsten Kapitel behandelt wird.
Natürlich ist es meist einfacher, mit einer expliziten Formel zu arbeiten. Allerdings ist diese nicht immer zu Beginn bekannt. Wir werden im nächsten Abschnitt Beispiele von Folgen besprechen, die sowohl explizit als auch rekursiv definiert werden können.
Beschreibende Definition
Nicht immer kann eine Folge durch eine explizite oder rekursive Formel definiert werden. Einige Folgen können überhaupt nicht oder nur schlecht durch eine Formel definiert werden, obwohl ihre Struktur einfach und klar ist. Betrachte als Beispiel die folgende Folge:
| \(a_{n}\) | \(a_{1}\) | \(a_{2}\) | \(a_{3}\) | \(a_{4}\) | \(a_{5}\) |
| 3.1 | 3.14 | 3.141 | 3.1415 | 3.14159 |
Offensichtlich stellen die Folgenglieder eine Näherung der Zahl \(\pi\) mit zunehmender Genauigkeit dar. Die Folge kann durch "Das \(n-te\) Element der Folge entsteht durch Abschneiden der Dezimaldarstellung von \(\pi\) nach der \(n-ten\) Ziffer nach dem Dezimalpunkt" beschrieben werden.
Beispiel 3:
Die babylonische Folge (auch Folge von Heron genannt) ist rekursiv gegeben durch \[x_1=1\] und \[x_{n+1}=\frac12(x_n+\frac{2}{x_n})\] für \(n\in\mathbb{N}\). Die ersten fünf Folgenglieder der babylonischen Folge lauten:
\[ x_1 = 1 \] \[ x_2 = \frac{3}{2} = 1.5 \] \[ x_3 \approx 1.4167\] \[ x_4 \approx 1.4142\]Diese Definition ist rekursiv und gibt für großes \(n\in\mathbb{N}\) eine gute Approximation für \(\sqrt{2}\),.
Beispiel 4:
Betrachte die Folge \[1,~3,~5,~7,~9,~....\] Die explizite Formel ist gegeben durch: \[a_n = 2n-1\] für \(n\in\mathbb{N}\). Als rekursive Formel erhält man \[a_1=1, ~~a_{n+1}=a_n+2~{\rm für}~n\in\mathbb{N}.\] Die beschreibende Definition ist: "Die Folge besteht aus allen ihrer Größe nach geordneten ungeraden Zahlen, beginnend mit der kleinsten Zahl."
Übung 4.
Eine Folge \( \left( a_n \right) \) ist gegeben durch \( 2, ~3, ~5, ~7, ~11, \dots \). Gib eine Definition für diese Folge an.
Übung 5.
Die Folge \( \left( b_n \right) = \left( 1, ~2, ~4, ~8, ~16, \dots \right) \) soll auf zwei verschiedene Arten definiert werden.