Grundlagen der anwendungsbezogenen Hochschulmathematik

Aufgaben zum 1. Kapitel 

Aufgabe 1.

Aufgabe 2.

Der Gesamt-Widerstand zweier Widerstände, die parallel geschaltet sind, ist durch die Formel \[ \frac{1}{R_{tot}} = \frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2} \] gegeben. Nehmen wir an, dass es notwendig ist, dass der Unterschied zwischen den Widerständen \( R_1 \) und \( R_2 \) gleich \( 1{,}5 \Omega\) beträgt und der Gesamt-Widerstand \( 4 \Omega \) ist. Bestimme die Widerstände \( R_1 \) und \( R_2 \). (Tipp: Bezeichne \( R_1 = x \), drücke \( R_2 \) mithilfe von \( x \) aus und du erhältst eine Gleichung mit einer Variablen.)

Aufgabe 3.

Löse die Gleichung \[ (\tan(x))^2+(1-\sqrt{3})\cdot \tan(x)-\sqrt{3}=0 \] unter der Annahme, dass \( x \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \). (Tipp: Bezeichne zuerst \( \tan(x)=t \) und löse die quadratische Gleichung für \( t \). Löse dann die Gleichung \( \tan(x)=t \) für \(x\).)

Aufgabe 4.

Die Schallleistung eines Lautsprechers ist \( 0{,}2\) Watt. Nehmen wir an, das sich der Ton kugelförmig ausbreitet: im Abstand \( r \) breitet sich der Schall auf einer Fläche von \( 4 \pi r^2 \). aus. Wie ist der Lautstärkepegel, wenn der Abstand vom Lautstärker

1. 1 m
2. 5 m

beträgt?

Aufgabe 5.

Vereinfache den Ausdruck \[ \frac{zu}{z+u} \] wobei \( z=2+3i \) und \( u=-1+2i \). Drücke die Antwort in Form von \( a+bi \) aus.

Aufgabe 6.

Löse die Gleichungen (\(z\in \mathbb{C})\).

1. \( z(3-4i)=5z+i \)
2. \( \frac{i}{z}=\frac{1+2i}{z+1} \)
3. \( z^2-6z+58=0 \)
4. \( z^3=-4+4i \)

Hinweis für d): Siehe Beispiel 5.

Aufgabe 7.

Löse die Gleichungen ( \( z\in \mathbb{C} ) \).

1. \( |z|+\overline{z}=2-3i \)
2. \( z-\overline{z}=|z|^2+2 \)

Hinweis: Bezeichne \( z=x+yi \).