1. Zahlen und Terme

1.6. Exponentielle und logarithmische Gleichungen

Nichtlineare Gleichungen

In diesem und dem folgenden Kapitel werden wir weitere Gleichungen betrachten, die sich nicht in  lineare oder quadratische Gleichungen einordnen lassen. 

In diesem Kapitel werden wir dafür die Folgenden Gleichungsklassen betrachten:

  • Exponentielle Gleichungen
  • Logarithmische Gleichungen

Wiederholung Potenzen und Wurzeln

Wiederholung Logarithmus

Beispiel pH-Wert
 
Exponentielle und Logarithmische Gleichungen

Lösen einer exponentiellen Gleichung

Aufgrund der Definition des Logarithmus, hat die Exponentialfunktion (angenommen \( a, k > 0 \) ) \[ k^x = a \] eine eindeutige Lösung \[ x=\log_k a. \] Die Lösung wird durch den Logarithmus zur Basis \( k \). ausgedrückt. Ein alternativer Weg die Gleichung zu lösen ist den natürlichen Logarithmus (Logarithmus zur Basis \( e \), bezeichnet als \( \ln \)) auf beiden Seiten anzuwenden: \[ \ln k^x = \ln a. \] Nun kann die Regel \( \log_k a^r = r\log_k a\) auf die Gleichung angewendet werden \[ x \ln k = \ln a \] welche die Lösung \[ x = \frac{\ln a}{\ln k} \] hat. Welche Variante verwendet wird, ist letztlich Geschmackssache, da beide Terme durch einen "Basiswechsel" ineinander überführt werden können.

In der Anwendung müssen exponentielle Gleichungen oft verändert werden bevor der Logarithmus auf beiden Seiten angewendet werden kann, wie folgendes Beispiel zeigt.

Beispiel 1.

Lösen wir die Gleichung \[ 2{,}5\cdot 1{,}2^x = 23. \] dividieren beider Seiten mit \( 2{,}5 \) und Anwenden des Logarithmus liefert: \[ \ln 1{,}2^x = \ln \frac{23}{2{,}5} \] oder \[ x \ln 1{,}2 = \ln 9{,}2. \] Somit ist die Lösung \[ x = \frac{\ln 9{,}2}{\ln 1{,}2} (=log_{1,2} {9,2}) \approx 12{,}2. \]

Beispiel 2.

Das Vermögen \( A \) ist mit einem jährlichen Zinsbetrag von 4 % verzeichnet. Wenn es keine weiteren Transaktionen gibt, ist die Menge an Geld auf dem Sparkonto eine Funktion abhängig von der Zeit \[ f(t)=A\cdot 1{,}04^t , \] wobei \( t \) die Zeit in Jahren ist (um genau zu sein, ist das Modell für ein ganzzahliges t exakt und kann leicht inakkurat für nicht-ganzzahlige Werte sein, je nach Richtlinie der Bank). Wie viele Jahre dauert es bis sich das Kapital verdoppelt? Das Problem ist äquivalent zum Lösen der Gleichung \[ A\cdot 1{,}04^t = 2A \] oder \[ 1{,}04^t = 2, \] mit der Lösung \[ t = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}04)} \approx 17{,}7. \] Also dauert es ungefähr 18 Jahre bis sich das Kapital verdoppelt.

Beispiel 3.

Nach dem Newtonschen Abkühlungsgesetz ist die Temperatur \( T \) eines abkühlenden Objektes als Funktion abhängig von der Zeit \[ T(t)=T_a+(T_0-T_a ) e^{-kt}, \] wobei \( T_0 \) die Anfangstemperatur, \( T_a \) die Umgebungstemperatur und \( k \)eine Konstante abhängig von Material und Geometrie des Objektes ist.

Betrachten wir ein Szenario, bei dem die Innentemperatur eines Hauses \( 24.0^\circ \textrm{C} \) und die Außentemperatur \( -21^\circ \textrm{C} \) beträgt. Dann wird der Strom abgeschnitten und die Heizung funktioniert nicht mehr. Innerhalb von 120 Minuten sinkt die Temperatur auf \( 19.0^\circ \textrm{C} \). Unter der Annahme, dass Newtons Abkühlungsgesetz in diesem Fall anwendbar ist, suchen wir einen passenden Wert für den Parameter \( k \).

Nehmen wir Stunden als Einheit. Es gilt \[ T(2 \, \textrm{h}) = (-21+45e^{-k\cdot 2 \textrm{h}})^\circ \textrm{C} = 19^\circ \textrm{C}. \] Also ist \[ e^{-k\cdot 2 \, \textrm{h}} = \frac{19 + 21}{45} = \frac{8}{9}. \] Nun kann der natürliche Logarithmus angewendet werden, um die Lösung zu erhalten: \[ -k \cdot 2 \, \textrm{h} = \ln (\frac{8}{9}). \] Dividieren beider Seiten mit \( 2 \, \textrm{h} \) liefert \[ k = \frac{\ln (\frac{8}{9})}{-2 \,  \textrm{h} } \approx 0{,}05889 \, \frac{1}{\textrm{h}}. \]

Übung 

  1. Löse die Gleichung \[3^{x}+3^{x+2}=30.\] 
  2. Löse die Gleichung \[2^{x^2-1}-3^{x^2-1}=3^{x^2}-2^{x^2+2}.\]
  3. Löse die Gleichung \[\left(\frac{5}{11}\right)^x+4\left(\frac{11}{5}\right)^x=5.\]
  4. Löse die Gleichung \[3^x+4^x=7.\]
Lösung

Lösen einer logarithmischen Gleichung

Beispiel 5.

Die Dezibel-Skala wird genutzt, um bspw. den Lautstärkepegel zu messen (aber dies ist nicht die einzige Anwendung). Der Lautstärkepegel in Dezibel wird definiert als \[ L=10 \lg⁡ \frac{I}{I_0} \textrm{ dB} \] wobei \( I \) die Intensität der Lautstärke ist (als Watt pro Quadratmeter), \( I_0\approx 10^{-12} \frac{\textrm{W}}{\textrm{m}^2} \) ist die Schwelle menschliche Hörens in der Luft und \( \lg \) ist der Logarithmus zur Basis 10.

Nehmen wir an, dass Musik mit einer Lautstärke von 60 Dezibel gespielt wird und dann auf 82 Dezibel aufgedreht wird. Wie groß ist die Zunahme der Intensität der Lautstärke? Bestimme das Verhältnis der Intensitäten.

Zuerst lösen wir die logarithmische Gleichung \[ L=10 \lg⁡ \frac{I}{I_0} \textrm{ dB} \] für die Intensität \( I \). Dividieren beider Seiten mit \( 10 \textrm{ dB} \) liefert \[ \lg⁡ \frac{I}{I_0} = \frac{L}{10 \textrm{ dB}} \] oder \[ I = I_0 \cdot 10^{\frac{L}{10 \textrm{ dB}} } . \] Somit ist die Intensität der Lautstärke von 60 dB \( I_1 = I_0 \cdot 10^6 \) und die Intensität der Lautstärke von 82 dB \( I_2 = I_0 \cdot 10^{8{,}2} \), das Verhältnis zwischen den beiden ist \[ \frac{I_2}{I_1} = \frac{ I_0 \cdot 10^{8{,}2} }{I_0 \cdot 10^6} = 10^{2{,}2} \approx 158. \]