Grundlagen der anwendungsbezogenen Hochschulmathematik

Mengendarstellungen und -operationen

Mengen begegnen uns häufig im Alltag, auch wenn wir diese nicht so bewusst wahrnehmen. Auf vielen Ausschreibungen findet man die Bezeichnung m, w, d. Dies lässt sich als Menge der Geschlechteridentitäten auffassen.

Es gibt endliche und unendliche Mengen. Die Geschlechteridenditäten von oben sind offensichtlich eine endliche Menge. Die Elemente kleiner endlicher Mengen werden wie folgt notiert:

\(G=\{m, w, d\}\)

Um aufzuzeigen, dass ein Element in einer Menge liegt schreibt man:

\(m \in M\) falls \(m\) ein Element von \(M\) ist.

Mithilfe dieser Notation wollen wir im Folgenden die aus der Schule bekannten Zahlenmengen betrachten.

Die aus dem Alltag bekannten Zahlen 1, 2, 3, ... stellen auch eine Menge dar. Diese bezeichnet man als natürliche Zahlen und fässt sie mit dem Mengensymbol \( \mathbb{N} \) zusammen. Hierbei handelt es sich um eine unendliche Menge. Möchte man diese Menge um das Element 0 erweitern, schreibt man \( \mathbb{N}_0 \). 

Die ganzen Zahlen \( \mathbb{Z} \) umfassen zusätzlich auch die negativen Zahlen.

Durch Betrachtung von Quotienten beliebiger ganzer Zahlen erhält man die rationalen Zahlen \( \mathbb{Q} \), die manchmal auch in der Alltagssprache Bruchzahlen genannt werden. Jede Diese können sowohl als Bruch als auch als periodische Dezimalzahlen dargestellt werden (Hinweis: \( \frac{1}{2} = 0,5\overline{0} \) und damit periodisch).

Es gibt allerdings auch unendlich, nicht-periodische Dezimalzahlen wie \( \sqrt2 \) oder \( \pi \). Diese nennt man irrational. Die Gesamtheit aus rationalen und irrationalen Zahlen bildet die reellen Zahlen \( \mathbb{R} \) - Exkurs: Beweis der Irrationalität von \( \sqrt{2} \).

Diese können wiederum zu den komplexen Zahlen \( \mathbb{C} \) erweitert werden (s. folgende Kapitel).

Bisher haben wir vom Erweitern von Mengen besprochen, entsprechend lässt sich auch der Blick zurück werfen. Hierfür definieren wir die sogenannte Teilmenge:

Hinweis: Das Zeichen \( \forall \) bedeutet "Für alle" und die Doppelpunkte \( : \) (manchmal auch ein Querstrich \( | \)) "es gilt".

Um deutlich zu machen, dass eine Menge eine 'echte' Teilmenge T einer Menge ist, d.h. es existiert ein Element \(m \in M\) für das gilt \(m \notin T\) schreiben wir  \( \subset \)  oder \(\subsetneq\)

Für die oben betrachteten Zahlenmengen gilt dabei \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \). 

Man kann mit Mengen auch in gewisser Weise "rechnen". So bezeichnet \( \bigcap \) den Schnitt und \( \bigcup \) die Vereinigung zweier Mengen. Sind bspw. \( U \) bzw. \( G \) die Menge der ungeraden bzw. geraden Zahlen, so ist

\( U \bigcap G = \emptyset \) ("leere Menge")

\( U \bigcup G = \mathbb{Z} \)

Teilbarkeit

Beispielsweise ist jede natürliche Zahl mit 0 an der letzten Stelle durch 10 teilbar.

Warum wir uns dafür interessieren: Im Kapitel 1.3 werden wir uns mit Brüchen auseinandersetzen, wobei wir diese beim Kürzen auf Teilbarkeit hin überprüfen werden. Zunächst wollen wir deshalb nur natürliche Zahlen auf Teilbarkeit überprüfen. Damit Betrachten wir gleichzeitig auch ganze Zahlen auf Teilbarkeit, da "neue" Teiler dabei lediglich ein negatives Vorzeichen erhalten können.

Teilermenge:

Die Teilermenge ist die Menge aller Teiler einer Zahl. Man schreibt \(T(x)\)  für die Teilermenge. Die Mächtigkeit dieser Menge entspricht der Anzahl der Teiler und wird angegeben durch \( \vert T(x) \vert \).

Beispiel: \(T(15)={1, 3, 5, 15}\)

Übung: