1. Wahrscheinlichkeitsrechnung

1.6. Aufgaben

Aufgaben

Aufgabe 1

In einer Schachtel befinden sich 24 in schwarzer Folie eingewickelte Pralinen. 18 Pralinen haben einen Überzug aus Vollmilchschokolade und sechs einen aus weißer Schokolade. Zwei Drittel der Vollmilchschokoladen-Pralinen (V) haben eine Marzipanfüllung (M). Insgesamt gibt es 16 Pralinen mit Marzipanfüllung.

Formulieren Sie zum Ergebnis \(P_\overline{V}(M)=\frac{4}{6}\) eine geeignete Aufgabenstellung und erläutern Sie diese durch ein begründetes Vorgehen.

Aufgabe 2

Zeigen Sie: Besitzen die unvereinbaren Ereignisse A und B je positive Wahrscheinlichkeiten, dann sind diese Ereignisse nicht stochastisch unabhängig.

Aufgabe 3

Sei \((\Omega, \wp (\Omega), P )\) ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum. Zeigen Sie: Für beliebige Ereignisse A und B gilt: \[P(A)=P(A\cap B) + P(A\cap\overline{B})\]

Aufgabe 4

In einem Hotel gibt es 200 Einzelzimmer. Eine Zimmer-Reservierung wird mit einer Wahrscheinlichkeit von \(\frac{1}{5}\) annulliert. Wie viele Reservierungen kann eine Hotel-Managerin für einen Tag zulassen, sodass das Risiko einer Überbuchung höchstens 0,025 beträgt?

Aufgabe 5

Untersuchen Sie den Zusammenhang zwischen Unabhängigkeit und Unvereinbarkeit zweier Ereignisse A und B.

Aufgabe 6

Das Eintreten von A sei notwendig für das Eintreten von B. Was lässt sich über die Unabhängigkeit von A und B sagen?

Aufgabe 7

Drei Spieler/innen A, B und C werfen mit jeweils einem Würfel. Spielerin A gewinnt, wenn sie eine 1, 2 oder 3 wirft. Spielerin B gewinnt, wenn sie eine 4 oder 5 wirft. Spieler C gewinnt, wenn er eine 6 wirft. Spielerin A beginnt, gibt dann den Würfel an B weiter, die nach ihrem Wurf den Würfel an C weitergibt. Es wird so lange weiter gewürfelt, bis jemand zum ersten Mal gewinnt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler C das Spiel gewinnt?

Aufgabe 8

Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

Sind die Ereignisse \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig, dann gilt auch:

  1. \(\overline{A}\) und \(B\) sind unabhängig
  2. \(A\) und \(\overline{B}\) sind unabhängig
  3. \(\overline{A}\) und \(\overline{B}\) sind unabhängig

Aufgabe 9

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass fünf, in einer Großstadt zufällig ausgewählte, Personen an verschiedenen Wochentagen Geburtstag haben?

Aufgabe 10

Bei einem Zufallsexperiment werden zwei verschiedene Laplace-Würfel geworfen und die Augensumme berechnet.

  1. Geben Sie einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum \(\Omega\) für dieses Experiment an.

  2. Welches der folgenden Ereignisse hat die größere Wahrscheinlichkeit?

    A: Die Augensumme ist gerade.

    B: Die Augensumme ist größer als 7.

Aufgabe 11

In einer Gärtnerei werden Samenkörner verwendet, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% keimen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von sieben ausgesäten Körnern

  1. genau drei Körner keimen?
  2. mehr als die Hälfte keimen?

Aufgabe 12

Eine Studentin hat in einer Klausur eine Multiple-Choice-Aufgabe mit n möglichen Antworten zu lösen, von denen genau eine richtig ist. Hat sich die Studentin gründlich auf die Klausur vorbereitet (dafür sei die Wahrscheinlichkeit 0,8), dann kann sie die Frage richtig beantworten. Andernfalls wählt sie eine der n Antworten willkürlich aus.

  1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (in Abhängigkeit von n), dass die Studentin sich auf die Prüfung gründlich vorbereitet hat, wenn sie die Frage richtig beantwortet hat?
  2. Wie groß muss n sein, damit die unter a) berechnete Wahrscheinlichkeit größer oder gleich 0,95 ist?