Inhalt:
Viele Probleme in Anwendungsgebieten der Mathematik (wie z.B. der Physik, Chemie, Biologie, Statistik, Computergrafik, oder Finanzmathematik) lassen sich auf die Berechnung hoch-dimensionaler Integrale zurückführen. In den meisten Fällen sind diese Integrale allerdings nicht exakt berechenbar, sondern müssen numerisch durch Quadraturformeln approximiert werden. Eine spezielle Klasse solcher Algorithmen, die "quasi-Monte Carlo Methoden" (QMC), soll in der Veranstaltung genauer untersucht werden. Diese Verfahren schätzen den gesuchten Wert des Integrals durch das arithmetische Mittel der Funktionswerte über einer deterministischen Punktmenge (im Gegensatz zu "Monte Carlo Methoden" (MC), welche auf zufälligen Punktmengen basieren). Das Seminar widmet sich dem Zusammenhang zwischen dem worst-case-Fehler solcher Methoden auf speziellen Funktionenräumen und der sogenannten Diskrepanz der verwendeten Punktmenge.
Die zu besprechende Theorie illustriert eindrucksvoll die starken Verbindungen zwischen Numerik, Analysis, Komplexitäts- und Wahrscheinlichkeitstheorie.
Themen:
-) Integrationsfehler in Hilbert-Räumen mit reproduzierendem Kern
-) Hlawka-Zaremba-Identität und Koksma-Hlawka-Ungleichung
-) Informationskomplexität und Fluch der Dimension
Zielgruppe und Vorkenntnisse:
Das Seminar wendet sich an Graduierte und fortgeschrittene Studierende der Mathematik im Master-Studium. Weitere Studierende sind aber auch herzlich willkommen!
Vorausgesetzt werden Kenntnisse der Analysis im Umfang der Grundvorlesungen. Zusätzliche Grundkenntnisse der Funktionalanalysis und Maßtheorie (wie sie bspw. in der Einführung zur Numerik vermittelt werden) sind wünschenswert, aber nicht notwendig. Vorkenntnisse zur Diskrepanz-Theorie aus dem vergangenen Sommersemester sind nicht zwingend erforderlich.
Viele Probleme in Anwendungsgebieten der Mathematik (wie z.B. der Physik, Chemie, Biologie, Statistik, Computergrafik, oder Finanzmathematik) lassen sich auf die Berechnung hoch-dimensionaler Integrale zurückführen. In den meisten Fällen sind diese Integrale allerdings nicht exakt berechenbar, sondern müssen numerisch durch Quadraturformeln approximiert werden. Eine spezielle Klasse solcher Algorithmen, die "quasi-Monte Carlo Methoden" (QMC), soll in der Veranstaltung genauer untersucht werden. Diese Verfahren schätzen den gesuchten Wert des Integrals durch das arithmetische Mittel der Funktionswerte über einer deterministischen Punktmenge (im Gegensatz zu "Monte Carlo Methoden" (MC), welche auf zufälligen Punktmengen basieren). Das Seminar widmet sich dem Zusammenhang zwischen dem worst-case-Fehler solcher Methoden auf speziellen Funktionenräumen und der sogenannten Diskrepanz der verwendeten Punktmenge.
Die zu besprechende Theorie illustriert eindrucksvoll die starken Verbindungen zwischen Numerik, Analysis, Komplexitäts- und Wahrscheinlichkeitstheorie.
Themen:
-) Integrationsfehler in Hilbert-Räumen mit reproduzierendem Kern
-) Hlawka-Zaremba-Identität und Koksma-Hlawka-Ungleichung
-) Informationskomplexität und Fluch der Dimension
Zielgruppe und Vorkenntnisse:
Das Seminar wendet sich an Graduierte und fortgeschrittene Studierende der Mathematik im Master-Studium. Weitere Studierende sind aber auch herzlich willkommen!
Vorausgesetzt werden Kenntnisse der Analysis im Umfang der Grundvorlesungen. Zusätzliche Grundkenntnisse der Funktionalanalysis und Maßtheorie (wie sie bspw. in der Einführung zur Numerik vermittelt werden) sind wünschenswert, aber nicht notwendig. Vorkenntnisse zur Diskrepanz-Theorie aus dem vergangenen Sommersemester sind nicht zwingend erforderlich.
- Dozent: Markus Weimar