Mathematik

Beschreiben Sie kurz und prägnant, worum es in diesem Kurs geht.

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Inhalt:

Viele Probleme in Anwendungsgebieten der Mathematik (wie z.B. der Physik, Chemie, Biologie, Statistik, Computergrafik, oder Finanzmathematik) lassen sich auf die Berechnung hoch-dimensionaler Integrale zurückführen. In den meisten Fällen sind diese Integrale allerdings nicht exakt berechenbar, sondern müssen numerisch durch Quadraturformeln approximiert werden. Eine spezielle Klasse solcher Algorithmen, die "quasi-Monte Carlo Methoden" (QMC), soll in der Veranstaltung genauer untersucht werden. Diese Verfahren schätzen den gesuchten Wert des Integrals durch das arithmetische Mittel der Funktionswerte über einer deterministischen Punktmenge (im Gegensatz zu "Monte Carlo Methoden" (MC), welche auf zufälligen Punktmengen basieren). Das Seminar widmet sich dem Zusammenhang zwischen dem worst-case-Fehler solcher Methoden auf speziellen Funktionenräumen und der sogenannten Diskrepanz der verwendeten Punktmenge.

Die zu besprechende Theorie illustriert eindrucksvoll die starken Verbindungen zwischen Numerik, Analysis, Komplexitäts- und Wahrscheinlichkeitstheorie.


Themen:
-) Integrationsfehler in Hilbert-Räumen mit reproduzierendem Kern
-) Hlawka-Zaremba-Identität und Koksma-Hlawka-Ungleichung
-) Informationskomplexität und Fluch der Dimension


Zielgruppe und Vorkenntnisse:

Das Seminar wendet sich an Graduierte und fortgeschrittene Studierende der Mathematik im Master-Studium. Weitere Studierende sind aber auch herzlich willkommen!

Vorausgesetzt werden Kenntnisse der Analysis im Umfang der Grundvorlesungen. Zusätzliche Grundkenntnisse der Funktionalanalysis und Maßtheorie (wie sie bspw. in der Einführung zur Numerik vermittelt werden) sind wünschenswert, aber nicht notwendig. Vorkenntnisse zur Diskrepanz-Theorie aus dem vergangenen Sommersemester sind nicht zwingend erforderlich.

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In these lectures, we study Lie groups and their Lie algebras, mostly from a differential geometric point of view.
Our goal is the correspondence between (finite dimensional) Lie algebras and simply connected Lie groups.

- As a warmup, we start with 'matrix Lie groups' and 'matrix Lie algebras'; the concrete and maybe already known examples.
- Then we study abstract Lie algebras and prove that any abstract (finite dimensional) real Lie algebra is a matrix Lie algebra (Ado's theorem).
- We define and study Lie groups and show Lie's 3 theorems. For this, we'll go quickly over the theory of regular foliations on smooth manifolds.

Note that for the third and last part of the lectures, you will need solid background knowledge in the following differential geometry prerequisites: smooth manifolds and smooth maps, tangent bundles and tangent maps, vector fields and flows. If you haven't this knowledge, it is strongly recommended that you follow in parallel the lectures on differential geometry.

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