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Conditions d’achèvement
Das Komplement einer Menge
Definition 4: "Komplement"
Sei \( M\) eine Grundmenge und \( A \ \subset \ M\).
Die Menge aller Elemente, die zu \( M\), aber nicht zu \( A\) gehören, nennt man Komplement von \( A\) bezüglich \( M\).
Formal: \( \bar A \ = \ \lbrace x \ \in \ M | \ x \ \not\in \ A \rbrace\).
Sei \( M\) eine Grundmenge und \( A \ \subset \ M\).
Die Menge aller Elemente, die zu \( M\), aber nicht zu \( A\) gehören, nennt man Komplement von \( A\) bezüglich \( M\).
Formal: \( \bar A \ = \ \lbrace x \ \in \ M | \ x \ \not\in \ A \rbrace\).
Beispiel:
\( M \ = \ \lbrace 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6 \rbrace\) und \( A\ = \ \lbrace 1,\ 2,\ 5 \rbrace\),
dann gilt: \( \bar A \ = \ \lbrace 3,\ 4,\ 6 \rbrace\) .
\( M \ = \ \lbrace 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6 \rbrace\) und \( A\ = \ \lbrace 1,\ 2,\ 5 \rbrace\),
dann gilt: \( \bar A \ = \ \lbrace 3,\ 4,\ 6 \rbrace\) .
Satz 5: "Doppelkomplement"
Wenn \( A\) eine Menge ist,
dann ist das Komplement vom Komplement von \( A\) die Menge \( A\) selbst.
Formal: \( \overline{ \bar A } \ = \ A \).
Wenn \( A\) eine Menge ist,
dann ist das Komplement vom Komplement von \( A\) die Menge \( A\) selbst.
Formal: \( \overline{ \bar A } \ = \ A \).
Beispiel:
Sei \( M\ = \ \lbrace 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5 \rbrace\) und \( A\ = \ \lbrace 2,\ 3,\ 4 \rbrace\), dann gilt:
\( \bar A \ = \ \lbrace 1,\ 5 \rbrace\) , \( \overline{ \bar A} \ = \ \lbrace 2,\ 3,\ 4 \rbrace\), also \( \overline{ \bar A} \ = \ A\).
Sei \( M\ = \ \lbrace 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5 \rbrace\) und \( A\ = \ \lbrace 2,\ 3,\ 4 \rbrace\), dann gilt:
\( \bar A \ = \ \lbrace 1,\ 5 \rbrace\) , \( \overline{ \bar A} \ = \ \lbrace 2,\ 3,\ 4 \rbrace\), also \( \overline{ \bar A} \ = \ A\).
Satz 6: "Komplement und Teilmenge"
Seien \( A\) und \( B\) Mengen.
Wenn \( A \ \subset \ B\),
dann gilt: \( \bar B \ \subset \ \bar A\).
Seien \( A\) und \( B\) Mengen.
Wenn \( A \ \subset \ B\),
dann gilt: \( \bar B \ \subset \ \bar A\).
Erweiterung des Komplementbegriffs
Definition 5: "Mengendifferenz"
Seien \( A\) und \( B\) Mengen.
Die Menge aller Elemente, die in \( B\) aber nicht in \( A\) liegen, nennt man die Mengendifferenz von \( A\) in \( B\) .
Formal: \( B\backslash A:= \ \lbrace x| \ x \ \in \ B \ \text{und} \ x \ \not\in \ A \rbrace\).
Seien \( A\) und \( B\) Mengen.
Die Menge aller Elemente, die in \( B\) aber nicht in \( A\) liegen, nennt man die Mengendifferenz von \( A\) in \( B\) .
Formal: \( B\backslash A:= \ \lbrace x| \ x \ \in \ B \ \text{und} \ x \ \not\in \ A \rbrace\).
Beispiel:
\( A \ = \ \lbrace 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5 \rbrace\) und \( B \ = \ \lbrace 3,\ 5,\ 7,\ 8,\ 9 \rbrace\) ,
dann gilt: \( B\backslash A \ = \ \lbrace 7,\ 8,\ 9 \rbrace\).
\( A \ = \ \lbrace 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5 \rbrace\) und \( B \ = \ \lbrace 3,\ 5,\ 7,\ 8,\ 9 \rbrace\) ,
dann gilt: \( B\backslash A \ = \ \lbrace 7,\ 8,\ 9 \rbrace\).
Satz 7: "Mengendifferenz"
a) Wenn \( A\) eine Menge ist,
dann ist die Mengendifferenz von \( A\) in \( A\) die leere Menge.
Formal: \( A\backslash A \ = \ \emptyset \).
a) Wenn \( A\) eine Menge ist,
dann ist die Mengendifferenz von \( A\) in \( A\) die leere Menge.
Formal: \( A\backslash A \ = \ \emptyset \).
b) Wenn \( A\) eine Menge ist,
dann ist die Mengendifferenz der leeren Menge in \( A\) die Menge \( A\) selbst.
Formal: \( A\backslash \emptyset \ = \ A\).
dann ist die Mengendifferenz der leeren Menge in \( A\) die Menge \( A\) selbst.
Formal: \( A\backslash \emptyset \ = \ A\).
Übung:
Stellen Sie verschiedene Möglichkeiten zu folgender Situation graphisch dar:
"\( A\) ist keine Teilmenge des Komplements von \( B\)."
Mögliche Lösung
Stellen Sie verschiedene Möglichkeiten zu folgender Situation graphisch dar:
"\( A\) ist keine Teilmenge des Komplements von \( B\)."
Mögliche Lösung
Modifié le: mardi 14 octobre 2025, 10:23