1. Zahlen und Terme

1.5. lineare und quadratische Gleichungen

Lineare und Quadratische Gleichungen

Lineare Gleichungen

Eine lineare Gleichung oder eine Polynomgleichung ersten Grades, ist eine Gleichung der Form \[ ax = b, a \ne 0 \] und durch Division durch \( a \) erhält man ihre eindeutige Lösung \[ x=\frac{b}{a}. \] Geometrisch ist dies die Nullstelle der Geraden \( y=ax-b \).

Quadratische Gleichungen

Eine quadratische Gleichung oder auch eine Polynomgleichung zweiten Grades, sind Gleichungen der Form \[ ax^2+bx+c = 0, a \ne 0 \] und ihre Lösung ist durch die Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel oder abc-Formel) \[ x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \] gegeben, unter der Annahme, dass die Diskriminante \( b^2-4ac \) nicht negativ ist. Wahlweise kann auch die pq-Formel angwandt werden, hierfür muss aber der Koeffizient vor \( x^2 \) gleich 1 sein.

Wenn die Diskriminante (lat. discriminare = unterschieden) Null ist, gibt es nur exakt eine Lösung \( x=\frac{-b}{2a} \). Wenn die Diskriminante negativ ist, gibt es überhaupt keine reellen Nullstellen, aber stattdessen gibt es zwei komplexe Nullstellen. Diese werden im Kapitel Komplexe Zahlen besprochen. Ist die Diskriminante echt positiv, dann gibt es zwei echt-verschiedene reelle Lösungen.

Manchmal gibt es leichtere Wege als die Lösungsformel, um quadratische Gleichungen zu lösen:

  • Wenn \( b=0 \), kann die Gleichung in der Form \( x^2 = d \) (mit \( d=\frac{-c}{a} \) ). geschrieben werden. Hier hat die Gleichung die Lösungen \( x=\pm \sqrt{d}, \) wenn \( d \geq 0 \).
  • Wenn \( c=0 \), kann die Gleichung durch Ausklammern in der Form \( x \cdot (ax+b) = 0 \) geschrieben werden. Der Satz vom Nullprodukt ("Null-Produkt-Regel") für reelle Zahlen besagt, dass das Produkt \( AB \) genau dann null ist, wenn \( A=0 \) oder \( B=0. \) Somit hat die Gleichung \( x \cdot (ax+b) = 0 \) zwei Lösungen \( x=0 \) und \( x=-\frac{b}{a}\).

Beispiel 1.

Die Gleichung \[ 2x^2+3x=0 \] kann durch Anwenden des Satzes vom Nullprodukt gelöst werden: Ausklammern des gemeinsamen Faktors \( x \) liefert \[ x(2x+3)=0 \] und somit sind die Nullstellen \[ x=0 \textrm{ und } x=-\frac{3}{2}. \]

Beispiel 2.

Anwenden der Lösungsformel für quadratische Gleichungen auf die Gleichung \[ 2x^2-7x+6=0. \] liefert \[ x= \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4\cdot 2 \cdot 6}}{2\cdot 2} = \frac{7 \pm 1}{4}. \] Also sind die Nullstellen \[ x_1 = 2 \textrm{ und } x_2 = \frac{3}{2}. \]

Beispiel 3.

Wenn die quadratische Formel auf die Gleichung \[ x^2+2x+2=0, \] angewandt wird, ist die Diskriminante eine negative Zahl \( 2^2-4\cdot 1 \cdot 2 = -4\). Somit hat die Gleichung keine reellen Lösungen.

 

Gleichung ersten Grades im Komplexen Zahlenraum

Eine Gleichung der Form (oder abgeänderter Form) \[ az+b=0, \] mit \( a,b,z \in \mathbb{C}, \) kann ähnlich wie Gleichungen ersten Grades einer reellen Variablen gelöst werden. Typischerweise ist die Lösung ein Quotient/Bruch zweier komplexer Zahlen. Mithilfe der Identität \( z\overline{z} = |z|^2 \) kann man diesen in die bekannte Form überführen, indem man mit dem komplex kojugierten des Nenners erweitert.

Beispiel 2.

Lösen wir die Gleichung \[ 2z-3iz-2i=5. \] Die Gleichung kann geschrieben werden als \[ (2-3i)z = 5+2i \] und die Lösung ist \[ z=\frac{5+2i}{2-3i} = \frac{(5+2i)\cdot (2+3i)}{(2-3i)\cdot (2+3i)} = \frac{10+15i+4i+6i^2}{4+6i-6i-9i^2} \] und weiter \[ z = \frac{4+19i}{13} = \frac{4}{13}+\frac{19}{13}i. \]

Gleichung zweiten Grades im Komplexen Zahlenraum

Wie bereits bekannt ist, besitzt die quadratische Gleichung \[ ax^2+bx+c=0 \] keine reellen Lösungen, wenn die Diskriminante \( b^2-4ac \) negativ ist. Jedoch kann bewiesen werden, dass in diesem Fall die Gleichung die imaginären Lösungen \[ x=\frac{-b\pm i\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a} \] hat - die Mitternachtsformel also letztlich ihre Gültigkeit beibehält.

Dies kann durch direktes Rechnen gesehen werden: \[ a\Big(x-\frac{-b + i\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a}\Big)\Big(x-\frac{-b - i\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a}\Big) = ax^2+bx+c, \] somit zerfällt das Polynom \( ax^2+bx+c \) als Produkt in die Faktoren \( x-\frac{-b \pm i\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a} \) und hat somit die Nullstellen \( \frac{-b \pm i\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a}. \)

Beispiel 3.

Anwenden der Mitternachtsformel auf die Gleichung \[ z^2-8z+20 = 0 \] liefert \[ z=\frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2-4\cdot 1 \cdot 20}}{2\cdot 1} = \frac{8 \pm \sqrt{-16}}{2}. \] Da die Diskriminante negativ ist, gibt es keine reellen Lösungen, aber zwei imaginäre Lösungen \[ z= \frac{8 \pm i\sqrt{16}}{2} = \frac{8 \pm 4i}{2} = 4 \pm 2i. \]

Vergleich von Real- und Imaginärteil 

Per Definition sind zwei komplexen Zahlen gleich, wenn sowohl der Realteil als auch der Imaginärteil übereinstimmen. Mit diesem Prinzip können viele komplexe Gleichungen mit einem Paar an Gleichungen, bei denen Real- und Imaginärteil der linken und rechten Seite der Gleichung gleich gesetzt werden, gelöst werden.

Beispiel 4.

Die Gleichung \[ 2\overline{z}+|z|^2=13-6i \] kann gelöst werden, indem wir \( z \)  als \( z=x+iy \) schreiben, also \( \overline{z}=x-iy \) und \( |z|^2=x^2+y^2 \). Dies führt zu zwei simultanen Gleichungen \[ \begin{cases} 2x+x^2 + y^2= 13 \\ -2y=-6. \end{cases}\] Die zweite Gleichung liefert \( y=3 \) . Durch Einsetzen in die erste Gleichung und Anwenden der Mitternachtsformel liefert \( x=-1\pm \sqrt{5}\) . Somit ist die Lösung \[ z = -1 \pm \sqrt{5}+3i.\]

Binomische Gleichungen im Komplexen Zahlenraum

\[ z^n = a \] kann gelöst werden, indem die Variable \( z \) und die Konstante \( a \) in exponentieller Form dargestellt werden und durch Verwendung des Prinzips, dass zwei komplexe Zahlen gleich sind, wenn ihre Beträge und ihre Argumente gleich sind bzw. die Differenz der Argumente ein ganzzahliges Vielfaches von \( 2\pi \) ist.

Beispiel 5.

Die Gleichung \[ z^3=-2+i2\sqrt{3} \] kann geschrieben werden als (siehe den Abschnitt Konjugation, Betrag und Argument und Beispiel 1) \[ |z|^3e^{i3\phi} = 4e^{i\frac{2\pi}{3}}. \] Die komplexen Zahlen auf beiden Seiten der Gleichung sind gleich, wenn

  1. Die Beträge gleich sind: \[ |z|^3 =4 \Leftrightarrow |z|=4^{\frac{1}{3}} \]
  2. Und wenn die Argumente gleich sind oder sich durch ein ganzzahliges Vielfaches von \( 2\pi \) unterscheiden: \[ 3\phi = \frac{2\pi}{3} + n2\pi \Leftrightarrow \phi = \frac{2\pi}{9} + n\frac{2\pi}{3}. \]

    Nun erhalten wir die Antworten mit unterschiedlichen Werten von \( n \) als \[ z_0 = 4^{\frac{1}{3}}e^{i \frac{2\pi}{9}} = 4^{\frac{1}{3}}(\cos(\frac{2\pi}{9})+i\sin(\frac{2\pi}{9})) \approx 1.21 + 1.02i. \] Auf ähnliche Art und Weise kann man sehen, dass \[ z_1 \approx -1.49+0.54i \] und \[ z_2 \approx 0.28-1.56i.\] Es gibt keine weiteren Lösungen, da \( z_3=z_0, z_4=z_1 \) etc. und für eine Gleichung von Grad \( n \) ist die maximale Anzahl an verschiedenen Nullstellen gleich \( n \).