Grundlagen der anwendungsbezogenen Hochschulmathematik

Zeichnen Sie die Kurve \(K(t) = (t \cdot \cos(t), t \cdot \sin(t))\) für \(0 < t < 20\). Die Kurve lässt sich aus einer Bewegung entstanden denken und dynamisch interpretieren, indem \(t\) als Zeit verstanden wird. Man nennt diese Kurve Spirale.

1. Beschreiben Sie diese Bewegung!
2. Geben Sie die Gleichung für die abgebildeten Spirale an!

Aufgabe 2: Ellipse

Gegeben ist eine Ellipse \(E(x,y): \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\); \(a,b \in \mathbb{R}^+\). Geben Sie die Gleichung der Tangente an die Ellipse im Ellipsenpunkt \(P(x_0,y_0)\) an.

Hinweis: Gehen Sie vom Kreis \(K_a: x^2+ y^2= a^2\) aus und erzeugen Sie \(E\) durch eine Streckung bzw. Stauchung von \(K_a\) mit dem Faktor \(\frac{b}{a}\) parallel zur y-Achse. Gehen Sie dann von einer Kreistangente aus.

Aufgabe 3: Das Herz

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, ein Herz mit Hilfe von mathematischen Funktionen zu zeichnen. Insbesondere kann ein Herz sehr unterschiedliche Formen besitzen. Zeichnen Sie aus Funktionsstücken (mit GeoGebra) ein Herz. Das Bild rechts zeigt eine Möglichkeit der Umsetzung.

Aufgabe 4: Funktion zweier Veränderlicher

1. Beschreiben Sie den Graphen \(G\) der Funktion mit \(f(x,y) = x^2+ y^2\), indem Sie \(G\) mit ausgewählten Ebenen schneiden und die Schittfiguren beschreiben.
2. Wir betrachten die beiden Ebenen im Raum mit \(f(x,y) = 4x + y + 3\) und \(g(x,y) = -x + 3y - 5\) in einem gemeinsamen Koordinatensystem. Zeigen Sie, dass die beiden Ebenen zueinander senkrecht sind.

Aufgabe 5:

Die Gleichung \[ x^3+\ln x = 0 \] hat eine Lösung im Intervall \( [0,5 ; 1] \). Bestimme die Nullstelle auf zwei Nachkommastellen genau mithilfe des Intervallhalbierungsverfahrens.