Grundlagen der anwendungsbezogenen Hochschulmathematik

Aufgaben zum 1. Kapitel "Funktionen"


Aufgabe 1: Parabeln I

Die Graphen der Funktionen \(f\), \(g\) mit \(f(x) = ax^2+ bx + c\) und \(g(x) = d(x-e)^2+ h\) sollen dieselbe Parabel darstellen. Welche Beziehung besteht zwischen den Variablen \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\) und \(h\)?


Aufgabe 2: Parabeln II

Wir betrachten die Parabeln \(P_b\) mit der Gleichung \(f_b(x) = 2x^2+ bx + 1\), \(b \in \mathbb{R}\).

1. Bestimmen Sie den Scheitelpunkt \(S_b\) der Parabeln \(P_b\) (also in Abhängigkeit von \(b\)).
2. Zeichnen Sie – etwa mit Hilfe des Programms GeoGebra (kostenlos downloadbar unter http://www.geogebra.org) – die Ortslinie \(OS_b\), auf der sich der Scheitelpunkt von \(P_b\) bewegt, wenn \(b\) variiert wird. In die Lösung der Aufgabe soll ein Screenshot dieser Aufgabe eingebunden werden.
3. Bestimmen Sie die Gleichung für die Ortslinie \(OS\).

Aufgabe 3: Exponentialfunktion

1. Vergleichen Sie die beiden Funktionen mit \(y = a \cdot 2^x\) und \(y = 2^{(x+d)}\) für verschiedene Werte \(a,d \in \mathbb{R}\). Für welche \(a\) bzw. \(d\)-Werte stimmen die Graphen der beiden Funktionen überein?
2. Die allgemeine Exponentialfunktion lässt sich mit der Gleichung \(f(x) = a \cdot b^{cx+d}\) mit \(a,c,d \in \mathbb{R}; b \in \mathbb{R}^+\) beschreiben. Diese Gleichung ist äquivalent zu einer Gleichung mit nur drei Parametern \(A,B,C\), wobei \(A,B,C \in \mathbb{R}\) bzw. \(\mathbb{R}^+\). Geben Sie den Zusammenhang zwischen \(A,B\) und \(C\) sowie \(a,b,c\) und \(d\) an!