Mathematik

Beschreiben Sie kurz und prägnant, worum es in diesem Kurs geht.

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This course gives an introduction to the magic weaved by the interplay between operator theory and complex function theory.

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Viele Probleme in Anwendungsgebieten der Mathematik (wie z.B. der Physik, Chemie, Biologie, Statistik, Computergrafik, oder Finanzmathematik) lassen sich auf die Berechnung hoch-dimensionaler Integrale zurückführen. In den meisten Fällen sind diese Integrale allerdings nicht exakt berechenbar, sondern müssen numerisch durch Quadraturformeln approximiert werden. Eine spezielle Klasse solcher Algorithmen, die "quasi-Monte Carlo Methoden" (QMC), soll in der Vorlesung genauer untersucht werden. Da diese Verfahren den gesuchten Wert des Integrals durch das arithmetische Mittel der Funktionswerte über einer deterministischen Punktmenge schätzen (im Gegensatz zu "Monte Carlo Methoden" (MC), welche auf zufälligen Punktmengen basieren), stellen Verteilungseigenschaften solcher Punktmengen (ihre "Diskrepanz") einen zentralen Bestandteil der Vorlesung dar.

Die vorgestellte Theorie illustriert eindrucksvoll die starken Verbindungen zwischen Numerik, Analysis, Zahlentheorie, Kombinatorik, Komplexitäts- und Wahrscheinlichkeitstheorie sowie der Geometrie.


Themen:
Gleichverteilung modulo 1,
Klassische Diskrepanzabschätzungen (nach Roth und Schmidt),
Ausgewählte Punktmengen (nach van der Corput und Halton-Hammersley),
Konstruktionsprinzipien (digitale Netze und Gitter),
Integrationsfehler in Hilbert-Räumen mit reproduzierendem Kern,
Hlawka-Zaremba-Identität und Koksma-Hlawka-Ungleichung,
Fluch der Dimension.

Zielgruppe und Vorkenntnisse:

Die Vorlesung wendet sich an Graduierte und fortgeschrittene Studierende der Mathematik im Master-Studium. Weitere Studierende sind aber auch herzlich willkommen!

Vorausgesetzt werden Kenntnisse der Analysis und der linearen Algebra im Umfang der Grundvorlesungen. Zusätzliche Grundkenntnisse der Funktionalanalysis, Maßtheorie und elementaren Zahlentheorie (wie sie bspw. in der Einführung zur Numerik vermittelt werden) sind wünschenswert, aber nicht notwendig.

Die Vorlesung gibt eine Einführung in die Grundlagen der Approximationstheorie, einem Teilgebiet der angewandten Mathematik. Ziel ist die näherungsweise Beschreibung ''komplizierter'' Objekte (meist Funktionen) durch einfachere Objekte, welche sich mit Hilfe endlicher Information darstellen lassen.

Kernthemen:
Klassische Approximationstheorie (Satz von Weierstraß, Approximation durch Integraloperatoren in C und Lp),
Bestapproximation in normierten Räumen (Existenz, Bestapproximation durch Polynome in C, Chebyschev-Polynome),
Bestapproximation in Hilberträumen (Orthonormalbasen und Projektoren),
Approximationstheorie und Funktionenräume (Stetigkeitsmoduli, Jackson-/Bernstein-Ungleichungen, Besov-Räume, Approximationsräume)

Zielgruppe und Vorkenntnisse:

Die Vorlesung wendet sich an Graduierte und Studierende höherer Semester (z.B. Mathematik Master). Weitere Studierende sind aber auch herzlich willkommen!

Es werden Kenntnisse der Analysis im Umfang der Grundvorlesungen vorausgesetzt. Zusätzliche Grundkenntnisse der Funktionalanalysis, der Maßtheorie sowie der Numerik sind wünschenswert, aber nicht notwendig.

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