\documentclass[ngerman,a4paper]{scrartcl}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage[usenames,dvipsnames,table]{xcolor}
\usepackage{enumitem,setspace,graphicx}
\DeclareGraphicsExtensions{.pdf,.png,.eps,.jpg}

\usepackage[vlined,longend]{algorithm2e} % for pseudocode
\SetKwProg{Fn}{}{:}{}

\usepackage[short]{optidef} % for linear programs

% --- graphs in tikz ---
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{shapes,snakes}
\tikzset{bul/.style={circle,fill=black, inner sep=0.05cm}}
\tikzset{lab/.style={sloped,anchor=south,auto=false,inner sep=2pt}}
\tikzset{>=latex}
% ---

% --- math operators ---
\usepackage{mathtools}
\DeclarePairedDelimiter\set{\{}{\}} % usage: $\set{1, 2, 3}$
\DeclarePairedDelimiter\abs{\lvert}{\rvert} % absolut value |x|
\DeclarePairedDelimiter\norm{\lVert}{\rVert} % ||x||
\DeclarePairedDelimiter\ceils{\lceil}{\rceil} % round up
\DeclarePairedDelimiter\floor{\lfloor}{\rfloor} % round down
\DeclarePairedDelimiter\angles{\langle}{\rangle} % triangular brackets
\def\then{\ensuremath{\Rightarrow}} % =>;
\def\iff{\ensuremath{\Leftrightarrow}} % if and only if &lt;=&gt;
\def\to{\ensuremath{\rightarrow}} % ->;
\def\Oh{\ensuremath{\mathcal{O}}} % Big-O like $\Oh(n)$
\def\oh{\ensuremath{\scriptstyle{\mathcal{O}}}} % small O
% ---

\begin{document}

\begin{small}
	\noindent
	Name 1, Gruppe X\\
	Name 2, Gruppe Y
\end{small}
\bigskip

\begin{center}
	\LARGE Lösungen zum 0. Übungsblatt (AGT SS26)
\end{center}
\smallskip

\subsection*{Aufgabe 1:}

\paragraph{a)}

Text hier einfügen.

\paragraph{b)}

Mathematische Ausdrücke werden mit \$-Zeichen umschlossen um korrekt gesetzt zu werden: \$a = b \textbackslash cdot c\$ ergibt $a = b \cdot c$

\paragraph{c)}

Um Formeln außerhalb des Fließtextes darzustellen kann die \emph{equation}-Umgebung verwendet werden:

\begin{equation}
    \sum_{n=0}^{k} \frac{n\cdot k}{c} = \ldots
\end{equation}
\begin{equation}
	\set*{\frac{a}{b} \mid a\in \mathbb{Z}, b\in\mathbb{N}}
\end{equation}

\paragraph{d)}

Einige wichtige Symbole und Funktionen, sowie die Listenumgebung werden wie folgt gesetzt:
\begin{itemize}
\item $\Oh$, $\Omega$, $\Theta$, $\oh$, $\omega$
\item $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\infty$
\item $\implies$, $\iff$, $\to$, $\gets$, $\lor$, $\land$, $\neg$, $\exists$, $\forall$, $\checkmark$
\item $<$, $\leq$, $\neq$, $>$, $\geq$
\item $\in$, $\notin$, $\setminus$, $\subsetneq$, $\subseteq$, $\supsetneq$, $\supseteq$, $\cup$, $\cap$, $\emptyset$
\item $\set*{x}$, $\abs*{x}$, $\norm*{x}$, $\ceils*{x}$, $\floor*{x}$, $\angles*{x}$
\item $\frac{x}{y}$, $\log_a{b}$, $x\bmod y, \sum_a^b{c}, \prod_x^y{z}$, $\binom{a}{b}$
\end{itemize}

\newpage

\paragraph{e)}

Graphen können z.\,B.\ mit ipe\footnote{https://ipe.otfried.org/} erstellt und dann als pdf eingebunden werden.
Alternativ können Graphen mit tikz auch direkt in der tex-Datei gezeichnet werden,
hier ein Beispiel:

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\draw (0,3)node[bul,label=left:$v_1$](v1){};
	\draw (3,4)node[bul,label=above:$v_2$](v2){};
	\draw (6,3)node[bul,label=right:$v_3$](v3){};
	\draw (0,1)node[bul,label=left:$v_4$](v4){};
	\draw (3,0)node[bul,label=below:$v_5$](v5){};
	\draw (6,1)node[bul,label=right:$v_6$](v6){};
	\draw [-,thick] (v1) to node[lab]{$e_1$} (v2);
	\draw [-,thick] (v2) to node[lab]{$e_2$} (v3);
	\draw [-,thick] (v3) to node[lab, xshift=-10pt]{$e_3$} (v4);
	\draw [-,thick] (v4) to node[lab]{$e_4$} (v5);
	\draw [-,thick] (v5) to node[lab]{$e_5$} (v6);
	\draw [-,thick] (v2) to node[lab]{$e_6$} (v4);
	\draw [-,thick] (v2) to node[lab, xshift=8pt]{$e_7$} (v5);
	\draw [-,thick] (v3) to node[lab]{$e_8$} (v5);
	\draw [-,thick] (v3) to node[lab]{$e_9$} (v6);
	\end{tikzpicture}
\end{center}


\subsection*{Aufgabe 2:}

Pseudocode kann wie folgt gesetzt werden:

\SetKwFunction{SAlgo}{SomeAlgo}
\begin{algorithm}[H]
	\Fn{\SAlgo{$a,b$}}{
		\If{$b == 0$} {
			\Return $a$\;
		}
		$c = a\cdot b$\;
		$d = b-1$\;
		\Return SomeAlgo($c,d$)\;
	}
\end{algorithm}

% -- Code zum Einbinden von Grafiken:
% \begin{figure}[htb]
% 	\centering
% 	\includegraphics{filename}
% 	\label{fig:name}
% \end{figure}

\subsection*{Aufgabe 3:}
Lineare Programme können wie folgt gesetzt werden:
\begin{mini*}
    {x}{\sum_{v\in V}x_v}
    {}{}
    \addConstraint{x_u+x_v}{\geq 1}{\;\forall \set{u,v}\in E}
    \addConstraint{x_v}{\in\{0,1\}}{\;\forall v\in V}
\end{mini*}

\end{document}
