Kegelschnitte

Website:	WueCampus
Kurs:	vhb - Analytische Geometrie - (DemoKurs)
Buch:	Kegelschnitte

Gedruckt von:	Gast
Datum:	Montag, 25. November 2024, 05:58

Inhaltsverzeichnis

1. Quadratische Formen
- 1.1. Kreise und Ellipsen
- 1.2. Hyperbeln und Parabeln
2. Orthogonale Abbildungen
- 2.1. Drehungen in Ebene und Raum
- 2.2. Euklidische Bewegungen
3. Ähnlichkeitsabbildungen
4. Hauptachsentransformation
5. Allgemeine Kurven zweiter Ordnung
6. Klassifikation der Quadriken
7. Kegelschnitte

1. Quadratische Formen

Viele bekannte geometrische Objekte lassen sich algebraisch als Lösungsmenge von geeigneten Gleichungen beschreiben. Kreise, Ellipsen, Parabeln oder Hyperbeln können z. B. durch passende quadratische Gleichungen charakterisiert werden. Dies motiviert uns sogenannte quadratische Formen zu definieren.

1.1 Kreise und Ellipsen

Wir definieren Kreise und Ellipsen im

$\footnotesize{\mathbb{R}^2}$ und zeigen, dass sich diese durch geeignete quadratische Gleichungen beschreiben lassen.

1.2 Hyperbeln und Parabeln

Wir definieren Hyperbeln und Parabeln im

$\footnotesize{\mathbb{R}^2}$ und zeigen, dass sich diese ebenfalls durch geeignete quadratische Gleichungen beschreiben lassen.

2. Orthogonale Abbildungen

Wir interessieren uns im Folgenden für Abbildungen, welche die Lage eines geometrischen Objektes in der Ebene oder im Raum verändern, das Objekt an sich jedoch unverändert lassen. Beispiele für solche Abbildungen sind etwa Translationen, Drehungen und Spiegelungen.

2.1 Drehungen in Ebene und Raum

In diesem Kapitel fokussieren wir uns auf Drehungen, Spiegelungen und Drehspiegelungen von geometrischen Objekten. Für deren Beschreibung benötigen wir sogenannte orthogonale Abbildungen (bzw. orthogonale Matrizen). Kurz gesagt bilden orthogonale Abbildungen

$\footnotesize{f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n}$ orthogonal zu einander stehende Vektoren wieder auf orthogonale Vektoren ab.

2.2 Euklidische Bewegungen

Wir wollen zwei geometrische Objekte als nicht wesentlich verschieden ansehen, wenn sie sich zwar durch ihre Lage im Raum, nicht aber in Form und Größe unterscheiden, bzw. mathematisch präziser: wenn sie sich durch sogenannte euklidische Bewegungen ineinander überführen lassen. Euklidische Bewegungen sind hierbei abstandserhaltende Abbildungen

$\footnotesize{f\,:\,\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n}$ . Sie bestehen aus einer orthogonalen Abbildung verkettet mit Translationen und sind somit linear und winkeltreu.

3. Ähnlichkeitsabbildungen

Nach den euklidischen Bewegungen (Kongruenzabbildungen) studieren wir nun eine weitere Klasse von geometrisch interessanten Abbildungen, nämlich Ähnlichkeitsabbildungen. Ähnlichkeitsabbildungen sind winkel- und verhältnistreu. Sie besitzen wichtige Anwendungen in der Dreiecksgeometrie.

4. Hauptachsentransformation

Der Satz über die Hauptachsentransformation besagt, dass jede symmetrische Matrix mittels einer geeigneten orthogonalen Matrix diagonalisiert werden kann. Damit können wir jede quadratische Form durch einen geeigneten Koordinatenwechsel (basierend auf einer passenden orthogonalen Abbildung) in metrische Normalform bringen.

5. Allgemeine Kurven zweiter Ordnung

Eine wichtige Anwendung der Hauptachsentransformation liegt in der Diskussion von Kurven im

$\footnotesize{\mathbb{R}^n}$ , die durch quadratische Gleichungen definiert werden. Wir beschreiben ein Verfahren, mit dem wir zu einer gegebenen quadratischen Gleichung mittels Hauptachsentransformation und quadratischer Ergänzung die zugehörige metrische Normalform bestimmen können. An der metrischen Normalform lässt sich leicht ablesen, um welches geometrisches Objekt es sich bei einer gegebene Quadrik handelt.

6. Klassifikation der Quadriken

Über die metrische Normalform lassen sich die verschiedenen Typen von Quadriken im

$\footnotesize{\mathbb{R}^n}$ klassifizieren. Wir diskutieren dabei ausführlich den Fall der Ebene

$\footnotesize{\mathbb{R}^2}$ und des dreidimensionalen Raums

$\footnotesize{\mathbb{R}^3}$ .

7. Kegelschnitte

Nachdem wir die verschiedenen Typen von Quadriken klassifiziert haben, wollen wir jetzt den Zusammenhang zwischen diesen geometrischen Objekten in der Ebene

$\footnotesize{\mathbb{R}^2}$ und im dreidimensionalen Raum

$\footnotesize{\mathbb{R}^3}$ beleuchten. Wir sehen, dass sich die Quadriken der Ebene als Schnitte von Ebenen mit einem Kreiskegel im dreidimensionalen Raum ergeben

Ein Kreiskegel im euklidischen Raum $\footnotesize{\mathbb{R}^3}$ lässt sich durch die quadratische Gleichung

$\qquad\footnotesize{x_1^2+x_2^2-x_3^2=0}$

beschreiben. Schneiden wir diesen Kreiskegel etwa mit der Ebene, die durch $\footnotesize{x_3=r}$ mit einer fixierten positiven reellen Zahl $\footnotesize{r}$ definiert ist, so ergibt sich durch Einsetzen in der Kreiskegelgleichung die Gleichung

$\qquad\footnotesize{x_1^2+x_2^2=r^2}$ .

Diese beschreibt bekanntlich einen Kreis vom Radius $\footnotesize{r}$ mit Mittelpunkt im Ursprung in der $\footnotesize{x_1x_2}$ -Ebene. Also ist die Schnittkurve unseres Kegels mit besagter Ebene eben dieser Kreis. Wählen wir statt $\footnotesize{x_3=r}$ eine etwas geneigte Ebene, so ergeben sich Ellipse bzw. Parabel als Schnittkurven, wobei die Parabel genau dann entsteht, wenn die Winkel bei Ebene und Kegel übereinstimmen (siehe nachstehende Abbildungen).

Kegelschnitt Ellipse

Kegelschnitt Hyperbel

Schneiden wir hingegen mit einer Ebene $\footnotesize{x_2=r}$ , wobei $\footnotesize{r\geq 0}$ sei, so folgt nach Umstellen die Gleichung

$\qquad\footnotesize{x_3^2-x_1^2=r^2}$ ;

damit ist die Schnittkurve in diesem Fall ein Geradenpaar (wenn $\footnotesize{r=0}$ ) oder eine Hyperbel (wenn $\footnotesize{r\neq 0}$ ; siehe nachstehende Abbildung).

Kegelschnitt Parabel

Folgender zentraler Satz besagt, dass wir sämtliche Quadriken der Ebene (bis auf Ähnlichkeit) als Schnitte von Ebenen mit einem Kreiskegel im dreidimensionalen Raum realisieren können. Aus diesem Grund nennt man die Quadriken der Ebene auch Kegelschnitte.

Satz 7.1
Die Schnittkurve

$\footnotesize{Q\cap E}$ einer Quadrik

$\footnotesize{Q\subset \mathbb{R}^3}$ mit einer Ebene

$\footnotesize{E}$ ist kongruent zu einer Quadrik

$\footnotesize{Q'\subset \mathbb{R}^2}$ (also einem Kegelschnitt). Ist

$\footnotesize{Q}$ ein Kreiskegel, so existiert zu jedem Kegelschnitt

$\footnotesize{Q'}$ eine Ebene

$\footnotesize{E}$ , so dass

$\footnotesize{Q'}$ ähnlich zu der Schnittkurve

$\footnotesize{Q\cap E}$ ist.

Ellipsen treten beispielsweise auch als Schnittkurven einer Ebene mit Ellipsoiden, elliptischen Paraboloiden, ein- oder auch zweischaligen Hyperboloiden oder elliptischen Zylindern auf, jedoch nicht als Schnitt einer Ebene mit etwa einem hyperbolischen Zylinder. Die einzige Quadrik im $\footnotesize{\mathbb{R}^3}$ , die alle drei Kegelschnitte, also Ellipse, Hyperbel und Parabel, als Schnittkurve mit einer geeigneten Ebene liefert, ist der Kegel.

Obiger Satz lässt sich in analoger Weise auch für den Fall von mehr als dreidimensionalen Kegeln formulieren.

Abschließend diskutieren wir nun die Frage, wieviele Punkte einen Kegelschnitt eindeutig festlegen. Wir erinnern uns, dass zwei Punkte genügen, um eine Gerade durch ebendiese zwei Punkte eindeutig festzulegen. Mit ein wenig mehr Mühe zeigt sich, dass drei Punkte, welche nicht auf einer Geraden liegen, eindeutig einen Kreis definieren. Darüberhinaus gilt

Satz 7.2 Fünfpunktesatz
Durch fünf Punkte einer Ebene, von denen keine vier kollinear sind, gibt es immer einen Kegelschnitt. Ferner existiert zu gegebenen paarweise verschiedenen fünf Punkten einer Ebene, von denen keine drei auf einer Geraden liegen, ein eindeutiger Kegelschnitt durch diese fünf Punkte.

Dieser Idee liegt auch das Global Positioning System (GPS) zugrunde, welches die Navigation (etwa mit Autos) erleichtert.