Demokurs: Didaktik der Analysis
1. Ableitung
1.7. Aufgaben
Aufgabe 1
- Differenzieren Sie den Term für das Volumen einer Kugel nach dem Radius \(r\). Interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch und erklären Sie dies mithilfe verschiedener Grundvorstellungen.
- Wiederholen Sie das für das Volumen eines Würfels.
- Betrachten Sie auch die Ableitung des Terms für das Volumen eines Kegels konstanter Höhe in Abhängigkeit vom Radius des Grundkreises. Inwiefern ist dieser Fall anders als die vorhergehe
Aufgabe 2
- Begründen Sie mit möglichst vielen verschiedenen Grundvorstellungen, dass an der Stelle eines lokalen Extremums die Ableitung 0 ist.
- Ein Schüler sagt, die Wurzelfunktion \(f:x\to \sqrt{x}\) habe in \(x=0\) ein globales Minimum. Eine Mitschülerin entgegnet, die erste Ableitung sei dort aber nicht 0. Klären Sie die Lage!
Aufgabe 3
- Begründen Sie, warum die Betragsfunktion an der Stelle 0 nicht differenzierbar ist.
- Untersuchen Sie die symmetrische Ableitung \[\lim_{n \to 0} \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}\] für die Funktionen mit den Termen \(x^2\), \(x^3\) , \(|x|\).
- Nennen Sie Vor- und Nachteile der symmetrischen Ableitung.
Aufgabe 4
- Erläutern Sie im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen die Begriffe
- allgemeine Form der Funktionsgleichung,
- Scheitelpunktform und
- Quadratische Ergänzung
- Erläutern Sie, wie mit Hilfe der quadratischen Ergänzung ein Extremwertproblem ohne Verwendung der Ableitung gelöst werden kann.
- Führen Sie dieses Verfahren an einem für den Analysisunterricht geeigneten Beispiel durch.
- Erläutern Sie Vor- und Nachteile.